## 問題の回答

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1. 問題の内容

(1) $\triangle ABC$ において、辺 $AB$ の中点を $M$、辺 $AC$ を $1:2$ に内分する点を $N$ とする。線分 $MN$ を $3:2$ に内分する点を $P$ とするとき、$\overrightarrow{AP}$ を $\overrightarrow{AB}$ と $\overrightarrow{AC}$ を用いて表せ。

(2) 3点 $A(-1, -1, -1), B(1, 2, 3), C(x, y, 1)$ が一直線上にあるとき、$x, y$ の値を求めよ。

(3) ベクトル $\vec{a} = (1, 3)$ と $\vec{b} = (2, 1)$ に対して、$\vec{x} = (t+1)\vec{a} + (1-2t)\vec{b}$ とおくとき、ベクトル $\vec{x}$ の大きさ $|\vec{x}|$ が最小となる実数 $t$ の値を求めよ。

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2. 解き方の手順

**(1)**

* まず、$\overrightarrow{AM}$ と $\overrightarrow{AN}$ を $\overrightarrow{AB}$ と $\overrightarrow{AC}$ で表す。

* $M$ は $AB$ の中点なので、$\overrightarrow{AM} = \frac{1}{2}\overrightarrow{AB}$

* $N$ は $AC$ を $1:2$ に内分するので、$\overrightarrow{AN} = \frac{1}{3}\overrightarrow{AC}$

* 次に、$\overrightarrow{AP}$ を $\overrightarrow{AM}$ と $\overrightarrow{AN}$ で表す。

* $P$ は $MN$ を $3:2$ に内分するので、$\overrightarrow{AP} = \frac{2\overrightarrow{AM} + 3\overrightarrow{AN}}{3+2} = \frac{2}{5}\overrightarrow{AM} + \frac{3}{5}\overrightarrow{AN}$

* 最後に、$\overrightarrow{AM}$ と $\overrightarrow{AN}$ を $\overrightarrow{AB}$ と $\overrightarrow{AC}$ で表した式を代入する。

* $\overrightarrow{AP} = \frac{2}{5} (\frac{1}{2}\overrightarrow{AB}) + \frac{3}{5} (\frac{1}{3}\overrightarrow{AC}) = \frac{1}{5}\overrightarrow{AB} + \frac{1}{5}\overrightarrow{AC}$

**(2)**

* 3点 $A, B, C$ が一直線上にあるとき、$\overrightarrow{AC} = k\overrightarrow{AB}$ となる実数 $k$ が存在する。

* $\overrightarrow{AB} = (1-(-1), 2-(-1), 3-(-1)) = (2, 3, 4)$

* $\overrightarrow{AC} = (x-(-1), y-(-1), 1-(-1)) = (x+1, y+1, 2)$

* $\overrightarrow{AC} = k\overrightarrow{AB}$ より、

$$(x+1, y+1, 2) = k(2, 3, 4) = (2k, 3k, 4k)$$

* 各成分を比較して、

* $x+1 = 2k$

* $y+1 = 3k$

* $2 = 4k$

* $2 = 4k$ より、$k = \frac{1}{2}$

* $x+1 = 2(\frac{1}{2}) = 1$ より、$x = 0$

* $y+1 = 3(\frac{1}{2}) = \frac{3}{2}$ より、$y = \frac{1}{2}$

**(3)**

* $\vec{x} = (t+1)\vec{a} + (1-2t)\vec{b} = (t+1)(1, 3) + (1-2t)(2, 1)$

* $\vec{x} = (t+1+2-4t, 3t+3+1-2t) = (3-3t, t+4)$

* $|\vec{x}|^2 = (3-3t)^2 + (t+4)^2 = 9 - 18t + 9t^2 + t^2 + 8t + 16 = 10t^2 - 10t + 25$

* $|\vec{x}|^2$ が最小となるとき、$|\vec{x}|$ も最小となる。

* $f(t) = 10t^2 - 10t + 25$ を最小にする $t$ を求める。

* $f(t) = 10(t^2 - t) + 25 = 10(t - \frac{1}{2})^2 - 10(\frac{1}{4}) + 25 = 10(t - \frac{1}{2})^2 + \frac{45}{2}$

* $t = \frac{1}{2}$ のとき、$f(t)$ は最小値 $\frac{45}{2}$ をとる。

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3. 最終的な答え

**(1)** $\overrightarrow{AP} = \frac{1}{5}\overrightarrow{AB} + \frac{1}{5}\overrightarrow{AC}$

**(2)** $x = 0, y = \frac{1}{2}$

**(3)** $t = \frac{1}{2}$