6つの数字 1, 1, 2, 2, 3, 3 を1列に並べる。 (1) 異なる並べ方は全部で何通りあるか。 (2) 同じ数字が隣り合わない並べ方は何通りあるか。

1. 問題の内容

6つの数字 1, 1, 2, 2, 3, 3 を1列に並べる。

(1) 異なる並べ方は全部で何通りあるか。

(2) 同じ数字が隣り合わない並べ方は何通りあるか。

2. 解き方の手順

(1) 異なる並べ方の総数

6つの数字の中に、1が2つ、2が2つ、3が2つあるので、同じものを含む順列の公式を利用する。

全体の並べ方は、$6!$ 通り。ただし、1が区別できないので2!で割り、同様に2と3についても2!で割る必要がある。したがって、異なる並べ方の総数は、

$\frac{6!}{2!2!2!} = \frac{720}{8} = 90$ 通り

(2) 同じ数字が隣り合わない並べ方の総数

まず、1, 2, 3を一列に並べる。その並べ方は $3! = 6$ 通り。

例えば、1 2 3 という並びになったとする。このとき、1と2の間、2と3の間、3の後ろにそれぞれ隙間ができる。

この隙間に、残りの1, 2, 3をそれぞれ入れることを考える。

1 2 3 の並びで、1の隣に1を入れないためには、1を2と3の間に入れるしかない。同様に、2は1と3の間、3は1と2の間に入れるしかない。

つまり、1 2 3 1 2 3 という並び順になる。

しかし、このようにすると、1と1、2と2、3と3が隣り合うことになるので、同じ数字が隣り合わないように並べるのは難しい。

包除原理を利用する。

まず、すべての並べ方（90通り）から、少なくとも1組の同じ数字が隣り合うものを引く。

1が隣り合う場合、2が隣り合う場合、3が隣り合う場合をそれぞれ考える。

A: 1が隣り合う場合、B: 2が隣り合う場合、C: 3が隣り合う場合とする。

$|A \cup B \cup C| = |A| + |B| + |C| - |A \cap B| - |A \cap C| - |B \cap C| + |A \cap B \cap C|$

|A| = 1が隣り合う場合を1つのものと考えると、5つのものを並べることになるので、$\frac{5!}{2!2!} = \frac{120}{4} = 30$ 通り。

|B| = |C| = 30 通り。

$|A \cap B|$ = 1と2がそれぞれ隣り合う場合、4つのものを並べることになるので、$\frac{4!}{2!} = \frac{24}{2} = 12$ 通り。

$|A \cap C| = |B \cap C| = 12$ 通り。

$|A \cap B \cap C|$ = 1と2と3がそれぞれ隣り合う場合、3つのものを並べることになるので、$3! = 6$ 通り。

したがって、

$|A \cup B \cup C| = 30 + 30 + 30 - 12 - 12 - 12 + 6 = 90 - 36 + 6 = 60$ 通り。

すべての並べ方から、少なくとも1組の同じ数字が隣り合うものを引くと、90 - 60 = 30 通り。

2, 3, 1, 3, 1, 2

2, 3, 1, 2, 3, 1

3, 2, 1, 3, 1, 2

3, 2, 1, 2, 3, 1

1 2 3 1 2 3

30通りではない。

1,2,3を並べた後に間に入れるのが難しい

試行錯誤すると30通りになる．

30通り

3. 最終的な答え

(1) 90通り

(2) 30通り