袋の中に赤玉2個と白玉1個が入っている。この袋から玉を1つ取り出し、色を確認した後、袋に戻すという試行を$n$回繰り返す。赤玉が奇数回出る確率を$a_n$とするとき、以下の問いに答える。 (1) $a_{n+1}$を$a_n$を用いて表せ。 (2) $a_n$を求めよ。

1. 問題の内容

袋の中に赤玉2個と白玉1個が入っている。この袋から玉を1つ取り出し、色を確認した後、袋に戻すという試行を$n$回繰り返す。赤玉が奇数回出る確率を$a_n$とするとき、以下の問いに答える。

(1) $a_{n+1}$を$a_n$を用いて表せ。

(2) $a_n$を求めよ。

2. 解き方の手順

(1) $n+1$回目に赤玉が奇数回出るのは、以下の2つの場合がある。

* $n$回目に赤玉が奇数回出ていて、$n+1$回目に白玉が出る場合。

* $n$回目に赤玉が偶数回出ていて、$n+1$回目に赤玉が出る場合。

$n$回目に赤玉が奇数回出る確率は$a_n$であるから、$n$回目に赤玉が偶数回出る確率は$1-a_n$である。

$n+1$回目に白玉が出る確率は$\frac{1}{3}$、赤玉が出る確率は$\frac{2}{3}$である。

したがって、$a_{n+1}$は以下の式で表される。

$a_{n+1} = a_n \cdot \frac{1}{3} + (1-a_n) \cdot \frac{2}{3}$

$a_{n+1} = \frac{1}{3} a_n + \frac{2}{3} - \frac{2}{3} a_n$

$a_{n+1} = -\frac{1}{3} a_n + \frac{2}{3}$

(2) (1)で求めた漸化式を解く。

$a_{n+1} = -\frac{1}{3} a_n + \frac{2}{3}$は、特性方程式$x = -\frac{1}{3}x + \frac{2}{3}$を解くと、

$x = \frac{1}{2}$であるから、以下の式に変形できる。

$a_{n+1} - \frac{1}{2} = -\frac{1}{3} (a_n - \frac{1}{2})$

数列$\{a_n - \frac{1}{2}\}$は、初項$a_1 - \frac{1}{2}$、公比$-\frac{1}{3}$の等比数列である。

$a_1$は、1回目に赤玉が出る確率なので、$a_1 = \frac{2}{3}$である。

したがって、$a_1 - \frac{1}{2} = \frac{2}{3} - \frac{1}{2} = \frac{1}{6}$である。

よって、

$a_n - \frac{1}{2} = \frac{1}{6} \cdot (-\frac{1}{3})^{n-1}$

$a_n = \frac{1}{6} \cdot (-\frac{1}{3})^{n-1} + \frac{1}{2}$

$a_n = \frac{1}{2} + \frac{1}{6} (-\frac{1}{3})^{n-1}$

3. 最終的な答え

(1) $a_{n+1} = -\frac{1}{3} a_n + \frac{2}{3}$

(2) $a_n = \frac{1}{2} + \frac{1}{6} (-\frac{1}{3})^{n-1}$