袋の中に赤球2個、青球3個、白球4個、合計9個の球が入っている。A, B, Cの3人がこの順に1個ずつ球を取り出す。ただし、取り出した球は元に戻さない。 (1) Aが赤球、Bが青球を取り出したとき、Cが赤球を取り出す条件付き確率を求め、Aが赤球、Bが青球、Cが赤球を取り出す確率を求める。さらに、AとCが赤球を取り出す確率を求める。 (2) 3人のうち2人が赤球を取り出す確率を求める。

1. 問題の内容

袋の中に赤球2個、青球3個、白球4個、合計9個の球が入っている。A, B, Cの3人がこの順に1個ずつ球を取り出す。ただし、取り出した球は元に戻さない。

(1) Aが赤球、Bが青球を取り出したとき、Cが赤球を取り出す条件付き確率を求め、Aが赤球、Bが青球、Cが赤球を取り出す確率を求める。さらに、AとCが赤球を取り出す確率を求める。

(2) 3人のうち2人が赤球を取り出す確率を求める。

2. 解き方の手順

(1)

* Aが赤球、Bが青球を取り出した後、袋の中には赤球1個、青球2個、白球4個の合計7個の球が残っている。

したがって、Cが赤球を取り出す条件付き確率は $\frac{1}{7}$ となる。よって、ア=1, イ=7。

* Aが赤球を取り出す確率は $\frac{2}{9}$。

Bが青球を取り出す確率は $\frac{3}{8}$。

Cが赤球を取り出す確率は $\frac{1}{7}$。

したがって、Aが赤球、Bが青球、Cが赤球を取り出す確率は

$\frac{2}{9} \times \frac{3}{8} \times \frac{1}{7} = \frac{6}{504} = \frac{1}{84}$ となる。よって、ウ=1, エオ=84。

* AとCが赤球を取り出す確率は、Bが赤球、青球、白球のいずれを取り出すかで場合分けして計算する。

* Bが赤球を取り出す場合：$\frac{2}{9} \times \frac{1}{8} \times \frac{1}{7} = \frac{2}{504}$

* Bが青球を取り出す場合：$\frac{2}{9} \times \frac{3}{8} \times \frac{1}{7} = \frac{6}{504}$

* Bが白球を取り出す場合：$\frac{2}{9} \times \frac{4}{8} \times \frac{1}{7} = \frac{8}{504}$

AとCが赤球を取り出す確率はこれらの合計なので、

$\frac{2}{504} + \frac{6}{504} + \frac{8}{504} = \frac{16}{504} = \frac{2}{63}$ となる。よって、カ=2, キク=63。

(2)

3人のうち2人が赤球を取り出すのは、以下の3つの場合である。

* AとBが赤球を取り出し、Cが赤球以外を取り出す場合

$\frac{2}{9} \times \frac{1}{8} \times \frac{7}{7} = \frac{14}{504}$

* AとCが赤球を取り出し、Bが赤球以外を取り出す場合

$\frac{2}{9} \times \frac{7}{8} \times \frac{1}{7} = \frac{14}{504}$ （Bが赤球以外を取り出す確率は場合分けをする前に計算しても変わらないので$\frac{7}{8}$になる。）

* BとCが赤球を取り出し、Aが赤球以外を取り出す場合

$\frac{7}{9} \times \frac{2}{8} \times \frac{1}{7} = \frac{14}{504}$

したがって、3人のうち2人が赤球を取り出す確率は

$\frac{14}{504} + \frac{14}{504} + \frac{14}{504} = \frac{42}{504} = \frac{1}{12}$ となる。よって、ケ=1, コサ=12。

3. 最終的な答え

ア/イ = 1/7

ウ/エオ = 1/84

カ/キク = 2/63

ケ/コサ = 1/12