9個の球（赤球2個、青球3個、白球4個）が入った袋から、A, B, Cの順に1個ずつ球を取り出す。取り出した球は元に戻さない。 (1) Aが赤球、Bが青球を取り出したとき、Cが赤球を取り出す条件付き確率を求め、A, B, Cがそれぞれ赤球、青球、赤球を取り出す確率を求め、AとCが赤球を取り出す確率を求め、3人のうち2人が赤球を取り出す確率を求める。 (2) A, Bが取り出した球の色がわからないとき、Cが赤球を取り出す確率を求め、Cが赤球を取り出したとき、Aが取り出した球も赤球である条件付き確率を求める。

1. 問題の内容

9個の球（赤球2個、青球3個、白球4個）が入った袋から、A, B, Cの順に1個ずつ球を取り出す。取り出した球は元に戻さない。

(1) Aが赤球、Bが青球を取り出したとき、Cが赤球を取り出す条件付き確率を求め、A, B, Cがそれぞれ赤球、青球、赤球を取り出す確率を求め、AとCが赤球を取り出す確率を求め、3人のうち2人が赤球を取り出す確率を求める。

(2) A, Bが取り出した球の色がわからないとき、Cが赤球を取り出す確率を求め、Cが赤球を取り出したとき、Aが取り出した球も赤球である条件付き確率を求める。

2. 解き方の手順

(1)

* Aが赤球、Bが青球を取り出したとき、残りの球は赤球1個、青球2個、白球4個の合計7個。Cが赤球を取り出す確率は、$\frac{1}{7}$。よって、ア/イ = 1/7。

* Aが赤球、Bが青球、Cが赤球を取り出す確率は、$\frac{2}{9} \times \frac{3}{8} \times \frac{1}{7} = \frac{6}{504} = \frac{1}{84}$。よって、ウ/エオ = 1/84。

* AとCが赤球を取り出す場合、Bは青球または白球を取り出す。

* Aが赤球、Bが青球、Cが赤球を取り出す確率は$\frac{2}{9} \times \frac{3}{8} \times \frac{1}{7} = \frac{1}{84}$。

* Aが赤球、Bが白球、Cが赤球を取り出す確率は$\frac{2}{9} \times \frac{4}{8} \times \frac{1}{7} = \frac{8}{504} = \frac{1}{63}$。

* AとCが赤球を取り出す確率は、$\frac{1}{84} + \frac{1}{63} = \frac{3}{252} + \frac{4}{252} = \frac{7}{252} = \frac{1}{36}$。よって、カ/キク = 1/36。

* 3人のうち2人が赤球を取り出す確率は、以下の3パターンを考える。

* AとBが赤球、Cが赤球以外：$\frac{2}{9} \times \frac{1}{8} \times \frac{7}{7} = \frac{2}{72} = \frac{1}{36}$

* AとCが赤球、Bが赤球以外: AとCが赤球を取り出す確率 $\frac{1}{36}$。

* BとCが赤球、Aが赤球以外：$\frac{7}{9} \times \frac{2}{8} \times \frac{1}{7} = \frac{14}{504} = \frac{1}{36}$

* 合計すると$\frac{1}{36} + \frac{1}{36} + \frac{1}{36} = \frac{3}{36} = \frac{1}{12}$。よって、ケ/コサ = 1/12。

(2)

* Cが赤球を取り出す確率は、A, Bが何色の球を取り出したかに関わらず、$\frac{2}{9}$。なぜなら、各球がCに選ばれる確率は等しく、9つのうち2つが赤球だから。よって、シ/ス = 2/9。

* Cが赤球を取り出したとき、Aが取り出した球も赤球である条件付き確率は、$\frac{P(Aが赤球 \cap Cが赤球)}{P(Cが赤球)}$。

* $P(Aが赤球 \cap Cが赤球)$は、すでに求めたように$\frac{1}{36}$。

* $P(Cが赤球) = \frac{2}{9}$。

* 求める条件付き確率は、$\frac{1/36}{2/9} = \frac{1}{36} \times \frac{9}{2} = \frac{9}{72} = \frac{1}{8}$。よって、セ/ソ = 1/8。

3. 最終的な答え

(1)

ア/イ = 1/7

ウ/エオ = 1/84

カ/キク = 1/36

ケ/コサ = 1/12

(2)

シ/ス = 2/9

セ/ソ = 1/8