問題5: $\frac{1}{1+\sqrt{2}-\sqrt{3}}$ を計算せよ。 問題6: $x<3$のとき、$\sqrt{x^2-6x+9}$ を $x$ の多項式で表せ。

1. 問題の内容

問題5: $\frac{1}{1+\sqrt{2}-\sqrt{3}}$ を計算せよ。

問題6: $x<3$のとき、$\sqrt{x^2-6x+9}$ を $x$ の多項式で表せ。

2. 解き方の手順

問題5:

まず、分母を有理化するために、$1 + \sqrt{2} + \sqrt{3}$ を分母分子にかけます。

$$\frac{1}{1+\sqrt{2}-\sqrt{3}} = \frac{1+\sqrt{2}+\sqrt{3}}{(1+\sqrt{2}-\sqrt{3})(1+\sqrt{2}+\sqrt{3})}$$

分母を計算すると、

$$(1+\sqrt{2})^2 - (\sqrt{3})^2 = (1+2\sqrt{2}+2) - 3 = 2\sqrt{2}$$

したがって、

$$\frac{1+\sqrt{2}+\sqrt{3}}{2\sqrt{2}} = \frac{(1+\sqrt{2}+\sqrt{3})\sqrt{2}}{2\sqrt{2}\sqrt{2}} = \frac{\sqrt{2}+2+\sqrt{6}}{4}$$

問題6:

$\sqrt{x^2-6x+9}$ を $x$ の多項式で表します。根号の中身を因数分解すると、

$x^2 - 6x + 9 = (x-3)^2$

したがって、

$\sqrt{x^2-6x+9} = \sqrt{(x-3)^2} = |x-3|$

$x < 3$ なので、$x - 3 < 0$ となります。したがって、

$|x-3| = -(x-3) = 3-x$

3. 最終的な答え

問題5: $\frac{2 + \sqrt{2} + \sqrt{6}}{4}$

問題6: $3-x$