2次方程式 $2x^2 + 8x - 3 = 0$ の2つの解を $\alpha$, $\beta$ とするとき、以下の式の値をそれぞれ求めよ。 (1) $\alpha^2 \beta + \alpha \beta^2$ (2) $2(3 - \alpha)(3 - \beta)$ (3) $\alpha^3 + \beta^3$ (4) $\alpha^4 + \beta^4$ (5) $\frac{1}{\alpha} + \frac{1}{\beta}$ (6) $\frac{\beta}{\alpha} + \frac{\alpha}{\beta}$

はい、承知いたしました。問題文を読み解き、解いていきます。

1. 問題の内容

2次方程式 $2x^2 + 8x - 3 = 0$ の2つの解を $\alpha$, $\beta$ とするとき、以下の式の値をそれぞれ求めよ。

(1) $\alpha^2 \beta + \alpha \beta^2$

(2) $2(3 - \alpha)(3 - \beta)$

(3) $\alpha^3 + \beta^3$

(4) $\alpha^4 + \beta^4$

(5) $\frac{1}{\alpha} + \frac{1}{\beta}$

(6) $\frac{\beta}{\alpha} + \frac{\alpha}{\beta}$

2. 解き方の手順

まず、解と係数の関係から、$\alpha + \beta$ と $\alpha \beta$ の値を求めます。

2次方程式 $ax^2 + bx + c = 0$ の解を $\alpha, \beta$ とすると、解と係数の関係より、

$\alpha + \beta = -\frac{b}{a}$

$\alpha \beta = \frac{c}{a}$

今回の問題では、$a=2$, $b=8$, $c=-3$ なので、

$\alpha + \beta = -\frac{8}{2} = -4$

$\alpha \beta = \frac{-3}{2}$

これらの値を使って、各式の値を計算します。

(1) $\alpha^2 \beta + \alpha \beta^2 = \alpha \beta (\alpha + \beta) = (-\frac{3}{2})(-4) = 6$

(2) $2(3 - \alpha)(3 - \beta) = 2(9 - 3\alpha - 3\beta + \alpha \beta) = 2(9 - 3(\alpha + \beta) + \alpha \beta)$

$= 2(9 - 3(-4) + (-\frac{3}{2})) = 2(9 + 12 - \frac{3}{2}) = 2(21 - \frac{3}{2}) = 2(\frac{42 - 3}{2}) = 2(\frac{39}{2}) = 39$

(3) $\alpha^3 + \beta^3 = (\alpha + \beta)^3 - 3\alpha \beta (\alpha + \beta) = (-4)^3 - 3(-\frac{3}{2})(-4) = -64 - 18 = -82$

(4) $\alpha^4 + \beta^4 = (\alpha^2 + \beta^2)^2 - 2\alpha^2 \beta^2$

$\alpha^2 + \beta^2 = (\alpha + \beta)^2 - 2\alpha \beta = (-4)^2 - 2(-\frac{3}{2}) = 16 + 3 = 19$

$\alpha^4 + \beta^4 = (19)^2 - 2(-\frac{3}{2})^2 = 361 - 2(\frac{9}{4}) = 361 - \frac{9}{2} = \frac{722 - 9}{2} = \frac{713}{2}$

(5) $\frac{1}{\alpha} + \frac{1}{\beta} = \frac{\alpha + \beta}{\alpha \beta} = \frac{-4}{-\frac{3}{2}} = -4 \times (-\frac{2}{3}) = \frac{8}{3}$

(6) $\frac{\beta}{\alpha} + \frac{\alpha}{\beta} = \frac{\beta^2 + \alpha^2}{\alpha \beta} = \frac{\alpha^2 + \beta^2}{\alpha \beta} = \frac{(\alpha + \beta)^2 - 2\alpha \beta}{\alpha \beta} = \frac{(-4)^2 - 2(-\frac{3}{2})}{-\frac{3}{2}} = \frac{16 + 3}{-\frac{3}{2}} = \frac{19}{-\frac{3}{2}} = 19 \times (-\frac{2}{3}) = -\frac{38}{3}$

3. 最終的な答え

(1) 6

(2) 39

(3) -82

(4) $\frac{713}{2}$

(5) $\frac{8}{3}$

(6) $-\frac{38}{3}$