与えられた式 $(x+1)(x+2)(x+9)(x+10)-180$ を計算し、簡単な形に変形する問題です。

1. 問題の内容

与えられた式 $(x+1)(x+2)(x+9)(x+10)-180$ を計算し、簡単な形に変形する問題です。

2. 解き方の手順

まずは、$(x+1)(x+10)$ と $(x+2)(x+9)$ をそれぞれ計算します。

$(x+1)(x+10) = x^2 + 10x + x + 10 = x^2 + 11x + 10$

$(x+2)(x+9) = x^2 + 9x + 2x + 18 = x^2 + 11x + 18$

ここで、$y = x^2 + 11x$ とおくと、与えられた式は以下のように書き換えられます。

$(y+10)(y+18) - 180$

これを展開すると、

$y^2 + 18y + 10y + 180 - 180 = y^2 + 28y$

$y$ を元に戻すと、

$(x^2 + 11x)^2 + 28(x^2 + 11x) = (x^2 + 11x)(x^2 + 11x + 28)$

さらに、$x^2 + 11x + 28$ を因数分解します。

$x^2 + 11x + 28 = (x+4)(x+7)$

したがって、

$(x^2 + 11x)(x^2 + 11x + 28) = x(x+11)(x+4)(x+7)$

3. 最終的な答え

$x(x+4)(x+7)(x+11)$