与えられた式 $6x^2 + 7xy + 2y^2 + x - 2$ を因数分解する問題です。

1. 問題の内容

与えられた式 $6x^2 + 7xy + 2y^2 + x - 2$ を因数分解する問題です。

2. 解き方の手順

まず、$x$について整理します。

$6x^2 + (7y+1)x + (2y^2-2)$

次に、$2y^2 - 2$を因数分解します。

$2y^2 - 2 = 2(y^2 - 1) = 2(y-1)(y+1)$

$6x^2 + (7y+1)x + 2(y-1)(y+1)$

この式を$(Ax+By+C)(Dx+Ey+F)$の形に因数分解できると仮定します。

$6x^2$の係数は、$AD = 6$となる組み合わせを探します。例えば、$A=2, D=3$や$A=3, D=2$などが考えられます。

$2(y-1)(y+1)$の係数に注目すると、$BE = 2$となる組み合わせは、$B=2, E=1$や$B=1, E=2$などが考えられます。

定数項に着目すると、$CF = -2$となる組み合わせを探します。

上記の条件を踏まえて試行錯誤すると、以下の因数分解ができます。

$(2x+y+1)(3x+2y-2)$

実際に展開してみると、

$(2x+y+1)(3x+2y-2) = 6x^2 + 4xy - 4x + 3xy + 2y^2 - 2y + 3x + 2y - 2$

$= 6x^2 + 7xy + 2y^2 - x - 2$

符号が異なるため、$y$または$x$の符号を反転させます。

$(2x+y-1)(3x+2y+2)$

$(2x+y-1)(3x+2y+2) = 6x^2 + 4xy + 4x + 3xy + 2y^2 + 2y - 3x - 2y - 2$

$= 6x^2 + 7xy + x + 2y^2 - 2$

$(3x+y-1)(2x+2y+2)=6x^2 +6xy+6x+2xy+2y^2+2y-2x-2y-2 = 6x^2+8xy+4x+2y^2-2$

$(3x+2y-1)(2x+y+2) = 6x^2 + 3xy + 6x + 4xy + 2y^2 + 4y - 2x - y - 2 = 6x^2 + 7xy + 4x + 2y^2 + 3y - 2$

$(3x+y+2)(2x+2y-1) = 6x^2+6xy-3x+2xy+2y^2-y+4x+4y-2 = 6x^2+8xy+x+2y^2+3y-2$

$(3x+2y+2)(2x+y-1) = 6x^2 + 3xy - 3x + 4xy + 2y^2 - 2y + 4x + 2y - 2 = 6x^2 + 7xy + x + 2y^2 - 2$

したがって、正しい因数分解は

$(3x+2y+2)(2x+y-1)$

3. 最終的な答え

$(3x+2y+2)(2x+y-1)$