2次不等式 $ax^2 + 5x + b > 0$ の解が $2 < x < 3$ となるように、定数 $a$ と $b$ の値を求める問題です。

1. 問題の内容

2次不等式 $ax^2 + 5x + b > 0$ の解が $2 < x < 3$ となるように、定数 $a$ と $b$ の値を求める問題です。

2. 解き方の手順

まず、$2 < x < 3$ が解となる2次不等式を考えます。これは、$(x-2)(x-3) < 0$ という不等式と同値です。展開すると、$x^2 - 5x + 6 < 0$ となります。

与えられた不等式 $ax^2 + 5x + b > 0$ と比較するため、$x^2 - 5x + 6 < 0$ に $-a$ を掛けて不等号の向きを反転させます。 $-ax^2 + 5ax - 6a > 0$ となります。

$ax^2 + 5x + b > 0$ と $-ax^2 + 5ax - 6a > 0$ の係数を比較します。

$x$の係数について，$5 = 5a$。

定数項について，$b = -6a$。

$5 = 5a$ より、$a = 1$となりますが、$ax^2 + 5x + b > 0$の解が$2 < x < 3$ となるには、$a < 0$ でなければなりません。

よって、$ax^2+5x+b>0$ を $a$ で割ると $x^2 + \frac{5}{a}x + \frac{b}{a} < 0$ となります。

解が $2 < x < 3$ であることから、解と係数の関係より、2つの解の和は $2+3 = 5 = -\frac{5}{a}$、2つの解の積は $2 \cdot 3 = 6 = \frac{b}{a}$となります。

$5 = -\frac{5}{a}$より、$a = -1$。

$6 = \frac{b}{a}$より、$b = 6a = 6(-1) = -6$。

3. 最終的な答え

$a = -1$

$b = -6$