直径6cm、長さ8cmの鉄の円柱から切り出して作れる最大の立方体の体積を求める問題です。

1. 問題の内容

直径6cm、長さ8cmの鉄の円柱から切り出して作れる最大の立方体の体積を求める問題です。

2. 解き方の手順

円柱から立方体を切り出す場合、立方体の一辺の長さは円柱の直径以下である必要があります。また、立方体の高さは円柱の長さ以下である必要があります。

円柱の直径は6cmなので、立方体の底面の1辺の長さは最大で6cmとなります。しかし、円柱から立方体を切り出す場合、底面を円に内接する正方形として考える必要があります。

円に内接する正方形の一辺の長さを $x$ とすると、正方形の対角線は円の直径に等しくなります。正方形の対角線の長さは $x\sqrt{2}$ なので、

$x\sqrt{2} = 6$

$x = \frac{6}{\sqrt{2}} = \frac{6\sqrt{2}}{2} = 3\sqrt{2}$

$x \approx 4.24$

したがって、立方体の底面の1辺の長さは $3\sqrt{2}$ cmとなります。

円柱の長さは8cmなので、立方体の高さは最大で8cmとなりますが、立方体の底面の1辺の長さに制約があるため、立方体の高さは底面の1辺の長さに等しい場合に体積が最大になります。よって、立方体の高さも $3\sqrt{2}$ cmとなります。

立方体の体積 $V$ は、一辺の長さの3乗で求められます。

$V = (3\sqrt{2})^3 = 3^3 \cdot (\sqrt{2})^3 = 27 \cdot 2\sqrt{2} = 54\sqrt{2}$

$V \approx 76.367$

しかし、問題文では「切削してできる最大の立方体」とあるので、立方体の一辺の長さは円柱の直径である6cm以下にする必要があります。円柱の長さが8cmであることから、一辺の長さが6cmの立方体を切り出すことが可能です。

したがって、立方体の一辺の長さを6cmとした場合、立方体の体積は以下のようになります。

$V = 6^3 = 216$

円柱の断面を考慮すると、一辺の長さが6cmの立方体は作れません。

立方体の一辺の長さを $x$ とすると、$x$ は円柱の直径以下でなければなりません。したがって、$x \le 6$ 。また、$x$ は円柱の長さ以下でなければなりません。したがって、$x \le 8$ 。

したがって、立方体の体積を最大にするためには、$x$ をできるだけ大きくする必要があります。

底面の対角線が6cmとなる立方体を考えます。

$x = 3\sqrt{2}$

$V = (3\sqrt{2})^3 = 54\sqrt{2}$

3. 最終的な答え

立方体の体積は $54\sqrt{2} \ cm^3$ です。近似値として、約 $76.37 \ cm^3$ となります。