3点 A(1, 1), B(2, 1), C(-1, 0) を通る円の方程式を求める。

1. 問題の内容

3点 A(1, 1), B(2, 1), C(-1, 0) を通る円の方程式を求める。

2. 解き方の手順

円の方程式を $x^2 + y^2 + ax + by + c = 0$ とおく。

この円が点 A, B, C を通るので、それぞれの座標を代入して、a, b, c に関する連立方程式を作る。

点 A(1, 1) を代入すると、

$1^2 + 1^2 + a(1) + b(1) + c = 0$

$2 + a + b + c = 0$

$a + b + c = -2$ ...(1)

点 B(2, 1) を代入すると、

$2^2 + 1^2 + a(2) + b(1) + c = 0$

$5 + 2a + b + c = 0$

$2a + b + c = -5$ ...(2)

点 C(-1, 0) を代入すると、

$(-1)^2 + 0^2 + a(-1) + b(0) + c = 0$

$1 - a + c = 0$

$-a + c = -1$ ...(3)

(2) - (1) より、

$(2a + b + c) - (a + b + c) = -5 - (-2)$

$a = -3$

(3) に $a = -3$ を代入すると、

$-(-3) + c = -1$

$3 + c = -1$

$c = -4$

(1) に $a = -3$, $c = -4$ を代入すると、

$-3 + b - 4 = -2$

$b - 7 = -2$

$b = 5$

したがって、円の方程式は、

$x^2 + y^2 - 3x + 5y - 4 = 0$

この式を標準形に変形する。

$(x^2 - 3x) + (y^2 + 5y) = 4$

$(x - \frac{3}{2})^2 - (\frac{3}{2})^2 + (y + \frac{5}{2})^2 - (\frac{5}{2})^2 = 4$

$(x - \frac{3}{2})^2 + (y + \frac{5}{2})^2 = 4 + \frac{9}{4} + \frac{25}{4}$

$(x - \frac{3}{2})^2 + (y + \frac{5}{2})^2 = \frac{16 + 9 + 25}{4}$

$(x - \frac{3}{2})^2 + (y + \frac{5}{2})^2 = \frac{50}{4}$

$(x - \frac{3}{2})^2 + (y + \frac{5}{2})^2 = \frac{25}{2}$

3. 最終的な答え

$x^2 + y^2 - 3x + 5y - 4 = 0$

または

$(x - \frac{3}{2})^2 + (y + \frac{5}{2})^2 = \frac{25}{2}$