2点A(-3, 2)とB(1, 6)を直径の両端とする円の中心Cの座標、半径r、および円の方程式を求めよ。

1. 問題の内容

2点A(-3, 2)とB(1, 6)を直径の両端とする円の中心Cの座標、半径r、および円の方程式を求めよ。

2. 解き方の手順

* 中心Cの座標は、線分ABの中点である。中点の座標は、各座標の平均を取ることで求められる。

$$C = \left(\frac{x_A + x_B}{2}, \frac{y_A + y_B}{2}\right)$$

$$C = \left(\frac{-3 + 1}{2}, \frac{2 + 6}{2}\right) = \left(\frac{-2}{2}, \frac{8}{2}\right) = (-1, 4)$$

* 半径rは、中心Cと点A（または点B）の距離である。点Aと中心Cの距離を求める。

$$r = \sqrt{(x_A - x_C)^2 + (y_A - y_C)^2}$$

$$r = \sqrt{(-3 - (-1))^2 + (2 - 4)^2} = \sqrt{(-2)^2 + (-2)^2} = \sqrt{4 + 4} = \sqrt{8} = 2\sqrt{2}$$

* 円の方程式は、中心(h, k)、半径rのとき、

$$(x - h)^2 + (y - k)^2 = r^2$$

となる。中心C(-1, 4)、半径$2\sqrt{2}$を代入すると、

$$(x - (-1))^2 + (y - 4)^2 = (2\sqrt{2})^2$$

$$(x + 1)^2 + (y - 4)^2 = 8$$

3. 最終的な答え

中心Cの座標: (-1, 4)

半径r: $2\sqrt{2}$

円の方程式: $(x + 1)^2 + (y - 4)^2 = 8$