三角形ABCにおいて、$a=3, b=7, c=8$である。角Bの二等分線と線分ACの交点をDとする。以下の値を求めよ。 (1) 角Bの大きさ (2) 三角形ABCの面積S (3) 三角形ABCの内接円の半径r (4) 三角形ABCの外接円の半径R (5) 線分BDの長さ

1. 問題の内容

三角形ABCにおいて、$a=3, b=7, c=8$である。角Bの二等分線と線分ACの交点をDとする。以下の値を求めよ。

(1) 角Bの大きさ

(2) 三角形ABCの面積S

(3) 三角形ABCの内接円の半径r

(4) 三角形ABCの外接円の半径R

(5) 線分BDの長さ

2. 解き方の手順

(1) 角Bの大きさを求める。余弦定理を用いる。

$cos B = \frac{c^2 + a^2 - b^2}{2ca} = \frac{8^2 + 3^2 - 7^2}{2 \cdot 8 \cdot 3} = \frac{64 + 9 - 49}{48} = \frac{24}{48} = \frac{1}{2}$

したがって、$B = 60^\circ$。

(2) 三角形ABCの面積Sを求める。

$S = \frac{1}{2}ca\sin B = \frac{1}{2} \cdot 8 \cdot 3 \cdot \sin 60^\circ = \frac{1}{2} \cdot 8 \cdot 3 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} = 6\sqrt{3}$

(3) 内接円の半径rを求める。

面積$S = rs$の関係を利用する。ただし、$s$は半周の長さで、$s = \frac{a+b+c}{2} = \frac{3+7+8}{2} = 9$。

$6\sqrt{3} = 9r$より、$r = \frac{6\sqrt{3}}{9} = \frac{2\sqrt{3}}{3}$

(4) 外接円の半径Rを求める。正弦定理を用いる。

$\frac{b}{\sin B} = 2R$

$\frac{7}{\sin 60^\circ} = 2R$

$\frac{7}{\frac{\sqrt{3}}{2}} = 2R$

$2R = \frac{14}{\sqrt{3}}$

$R = \frac{7}{\sqrt{3}} = \frac{7\sqrt{3}}{3}$

(5) 線分BDの長さを求める。

角の二等分線の定理より、$AD:DC = AB:BC = 8:3$。

$AC = AD + DC = 7$なので、$AD = \frac{8}{11} \cdot 7 = \frac{56}{11}$、 $DC = \frac{3}{11} \cdot 7 = \frac{21}{11}$。

三角形ABDにおいて、余弦定理を用いる。

$BD^2 = AB^2 + AD^2 - 2 \cdot AB \cdot AD \cdot \cos A$

$cosA = \frac{BC^2 + AB^2 - AC^2}{2BC \cdot AB} = \frac{3^2 + 8^2 - 7^2}{2 \cdot 3 \cdot 8} = \frac{9 + 64 - 49}{48} = \frac{24}{48} = \frac{1}{2}$

$A = 60^\circ$

$BD^2 = 8^2 + (\frac{56}{11})^2 - 2 \cdot 8 \cdot \frac{56}{11} \cdot \frac{1}{2} = 64 + \frac{3136}{121} - \frac{448}{11} = \frac{7744 + 3136 - 4928}{121} = \frac{5952}{121}$

$BD = \sqrt{\frac{5952}{121}} = \frac{8\sqrt{93}}{11}$

3. 最終的な答え

(1) B = $60^\circ$

(2) S = $6\sqrt{3}$

(3) r = $\frac{2\sqrt{3}}{3}$

(4) R = $\frac{7\sqrt{3}}{3}$

(5) BD = $\frac{8\sqrt{93}}{11}$