直径6cm、長さ8cmの鉄の円柱から切り出して作れる最大の立方体の体積を求める問題です。

1. 問題の内容

直径6cm、長さ8cmの鉄の円柱から切り出して作れる最大の立方体の体積を求める問題です。

2. 解き方の手順

1. 円柱から立方体を切り出すことを考えます。立方体の一辺の長さを $x$ とすると、立方体を切り出すためには、立方体の底面が円柱の底面に内接している必要があります。また、立方体の高さは円柱の長さより短くなければなりません。

2. 円柱の底面の直径が6cmなので、半径は3cmです。円柱の底面に内接する正方形の一辺の長さを求めます。正方形の対角線は円の直径と一致するため、正方形の一辺の長さ $x$ は、$x\sqrt{2} = 6$ となります。

3. 上記の式を解いて、$x$ を求めます。

4. $x = \frac{6}{\sqrt{2}} = \frac{6\sqrt{2}}{2} = 3\sqrt{2} \approx 4.24$ cmとなります。

5. 立方体の高さは円柱の長さである8cm以下である必要があります。また、立方体の底面の一辺の長さは$3\sqrt{2}$cmである必要があります。したがって、立方体の一辺の長さは、円柱の底面に内接する正方形の一辺の長さ $3\sqrt{2}$ cmと円柱の長さ8cmのうち、短い方の長さで決まります。$3\sqrt{2}$ は約4.24なので、$3\sqrt{2}$cmのほうが短いので、立方体の一辺の長さは $3\sqrt{2}$ cmとなります。

6. 立方体の体積 $V$ は、$V = x^3$ で求められます。

7. 求めた $x$ の値を代入して、体積 $V$ を計算します。

$x = 3\sqrt{2}$

$V = (3\sqrt{2})^3 = 3^3 * (\sqrt{2})^3 = 27 * 2\sqrt{2} = 54\sqrt{2} \approx 76.37$ cm$^3$

3. 最終的な答え

立方体の体積は $54\sqrt{2}$ cm$^3$ です。

近似値で答える場合は約76.37 cm$^3$ です。