点 $(2, 2)$ と直線 $y = -x - 3$ の間の距離を求めます。

1. 問題の内容

点 $(2, 2)$ と直線 $y = -x - 3$ の間の距離を求めます。

2. 解き方の手順

点 $(x_0, y_0)$ と直線 $ax + by + c = 0$ の距離 $d$ は、以下の式で求められます。

$d = \frac{|ax_0 + by_0 + c|}{\sqrt{a^2 + b^2}}$

与えられた直線 $y = -x - 3$ を変形すると、$x + y + 3 = 0$ となります。したがって、$a = 1$, $b = 1$, $c = 3$ です。

また、点 $(x_0, y_0)$ は $(2, 2)$ です。

これらの値を距離の公式に代入すると、

$d = \frac{|1 \cdot 2 + 1 \cdot 2 + 3|}{\sqrt{1^2 + 1^2}}$

$d = \frac{|2 + 2 + 3|}{\sqrt{1 + 1}}$

$d = \frac{|7|}{\sqrt{2}}$

$d = \frac{7}{\sqrt{2}}$

分母の有理化を行うために、分子と分母に $\sqrt{2}$ を掛けます。

$d = \frac{7\sqrt{2}}{2}$

3. 最終的な答え

$\frac{7\sqrt{2}}{2}$