次の整式の組の最大公約数と最小公倍数を求めます。 (1) $6a^3b^2d$, $8ab^4c^3$, $12a^2b^3c^2$ (2) $(x+1)(x+2)^2$, $(x+1)^3(x+3)$

1. 問題の内容

次の整式の組の最大公約数と最小公倍数を求めます。

(1) $6a^3b^2d$, $8ab^4c^3$, $12a^2b^3c^2$

(2) $(x+1)(x+2)^2$, $(x+1)^3(x+3)$

2. 解き方の手順

(1) 各整式の係数と文字部分をそれぞれ分解します。

係数の最大公約数：

6, 8, 12 の最大公約数は 2 です。

文字の最大公約数：

$a^3$, $a$, $a^2$ の最大公約数は $a$ です。

$b^2$, $b^4$, $b^3$ の最大公約数は $b^2$ です。

$d$, $c^3$, $c^2$ の最大公約数は 1 です（共通因子なし）。

したがって、最大公約数は $2ab^2$ です。

係数の最小公倍数：

6, 8, 12 の最小公倍数は 24 です。

文字の最小公倍数：

$a^3$, $a$, $a^2$ の最小公倍数は $a^3$ です。

$b^2$, $b^4$, $b^3$ の最小公倍数は $b^4$ です。

$d$, $c^3$, $c^2$ の最小公倍数は $c^3d$ です。

したがって、最小公倍数は $24a^3b^4c^3d$ です。

(2) 各整式を因数分解された形で考察します。

最大公約数：

$(x+1)(x+2)^2$ と $(x+1)^3(x+3)$ に共通する因数は $(x+1)$ です。

したがって、最大公約数は $x+1$ です。

最小公倍数：

各因数の最高次数を取ります。

$(x+1)$ の最高次数は 3 です。

$(x+2)$ の最高次数は 2 です。

$(x+3)$ の最高次数は 1 です。

したがって、最小公倍数は $(x+1)^3(x+2)^2(x+3)$ です。

3. 最終的な答え

(1)

最大公約数：$2ab^2$

最小公倍数：$24a^3b^4c^3d$

(2)

最大公約数：$x+1$

最小公倍数：$(x+1)^3(x+2)^2(x+3)$