問題4.1：$n$次正方行列$A$について、以下の命題の真偽を判定する。 1. ある行が $(0, 0, ..., 0)$ ならば、$A$は正則ではない。 2. $A$が正則でないならば、$A$のある行は$(0, 0, ..., 0)$である。 問題4.2：問題4.1で、「行」を「列」に置き換えた場合の真偽を検討する。

1. 問題の内容

問題4.1：$n$次正方行列$A$について、以下の命題の真偽を判定する。

1. ある行が $(0, 0, ..., 0)$ ならば、$A$は正則ではない。

2. $A$が正則でないならば、$A$のある行は$(0, 0, ..., 0)$である。

問題4.2：問題4.1で、「行」を「列」に置き換えた場合の真偽を検討する。

2. 解き方の手順

問題4.1

1. 命題1の証明:

$A$のある行が $(0, 0, ..., 0)$ であると仮定する。

行列式 $\det(A)$ は、任意の行に関する余因子展開によって計算できる。

$(0, 0, ..., 0)$ である行で余因子展開すると、行列式は0となる。

$\det(A) = 0$ であるとき、$A$ は正則ではない。

したがって、命題1は真である。

2. 命題2の反例:

$A$ が正則でないとき、$A$ のある行が $(0, 0, ..., 0)$ であるとは限らない。

例えば、$A = \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 0 \end{pmatrix}$ を考える。

$\det(A) = 0$ なので、$A$ は正則ではない。

しかし、$A$ の行には $(0, 0, ..., 0)$ はない。

別の例として、$A = \begin{pmatrix} 1 & 1 \\ 1 & 1 \end{pmatrix}$を考えると、$\det(A) = 0$なので正則ではないが、ゼロの行は存在しない。

したがって、命題2は偽である。

問題4.2

問題4.1の「行」を「列」に置き換えて考える。

1. 命題1の修正版:

$A$のある列が $(0, 0, ..., 0)^T$ ならば、$A$は正則ではない。

これは、問題4.1の命題1と同様に真である。

行列式 $\det(A)$ は、任意の列に関する余因子展開によって計算できる。

$(0, 0, ..., 0)^T$ である列で余因子展開すると、行列式は0となる。

$\det(A) = 0$ であるとき、$A$ は正則ではない。

2. 命題2の修正版:

$A$が正則でないならば、$A$のある列は$(0, 0, ..., 0)^T$である。

これは、問題4.1の命題2と同様に偽である。

反例も同様に、$A = \begin{pmatrix} 1 & 1 \\ 1 & 1 \end{pmatrix}$が挙げられる。

3. 最終的な答え

問題4.1:

1. 命題1: 真

2. 命題2: 偽

問題4.2:

1. 命題1（修正版）: 真

2. 命題2（修正版）: 偽