2次方程式 $x^2 - 2x + 3 = 0$ の2つの解を $\alpha$, $\beta$ とするとき、以下の式の値を求める。 (1) $\alpha^2 + \beta^2$ (2) $(\alpha + 1)(\beta + 1)$

1. 問題の内容

2次方程式 $x^2 - 2x + 3 = 0$ の2つの解を $\alpha$, $\beta$ とするとき、以下の式の値を求める。

(1) $\alpha^2 + \beta^2$

(2) $(\alpha + 1)(\beta + 1)$

2. 解き方の手順

解と係数の関係より、

$\alpha + \beta = 2$

$\alpha \beta = 3$

が成り立つ。

(1) $\alpha^2 + \beta^2$ を求める。

$\alpha^2 + \beta^2 = (\alpha + \beta)^2 - 2\alpha\beta$

に、$\alpha + \beta = 2$ と $\alpha \beta = 3$ を代入すると、

$\alpha^2 + \beta^2 = (2)^2 - 2(3) = 4 - 6 = -2$

(2) $(\alpha + 1)(\beta + 1)$ を求める。

$(\alpha + 1)(\beta + 1) = \alpha\beta + \alpha + \beta + 1$

に、$\alpha + \beta = 2$ と $\alpha \beta = 3$ を代入すると、

$(\alpha + 1)(\beta + 1) = 3 + 2 + 1 = 6$

3. 最終的な答え

(1) $\alpha^2 + \beta^2 = -2$

(2) $(\alpha + 1)(\beta + 1) = 6$