不等式 $2^n > 10000$ を満たす最小の整数 $n$ を求めよ。ただし、$\log_{10}2 = 0.3010$とする。

1. 問題の内容

不等式 $2^n > 10000$ を満たす最小の整数 $n$ を求めよ。ただし、$\log_{10}2 = 0.3010$とする。

2. 解き方の手順

与えられた不等式 $2^n > 10000$ の両辺の常用対数（底が10の対数）を取ると、

$\log_{10} 2^n > \log_{10} 10000$

対数の性質より、

$n \log_{10} 2 > \log_{10} 10^4$

$n \log_{10} 2 > 4 \log_{10} 10$

$n \log_{10} 2 > 4$

ここで、$\log_{10} 2 = 0.3010$ を代入すると、

$0.3010 n > 4$

$n > \frac{4}{0.3010}$

$n > \frac{40000}{3010} = \frac{4000}{301} \approx 13.289$

したがって、不等式を満たす最小の整数 $n$ は14である。

3. 最終的な答え

14