与えられた2変数多項式 $2x^2 + 5xy + 3y^2 - 3x - 5y - 2$ を因数分解する問題です。

1. 問題の内容

与えられた2変数多項式 $2x^2 + 5xy + 3y^2 - 3x - 5y - 2$ を因数分解する問題です。

2. 解き方の手順

まず、$x$ について整理してみます。

$2x^2 + (5y - 3)x + (3y^2 - 5y - 2)$

次に、$3y^2 - 5y - 2$ を因数分解します。

$3y^2 - 5y - 2 = (3y + 1)(y - 2)$

したがって、元の式は

$2x^2 + (5y - 3)x + (3y + 1)(y - 2)$

と書けます。

ここで、$(ax+by+c)(dx+ey+f)$の形に因数分解できると仮定して、係数を比較して因数を見つけます。

定数項が$(3y+1)(y-2)$であることから、

$2x^2 + (5y - 3)x + (3y + 1)(y - 2) = (2x + ay + b)(x + cy + d)$

とおくと、

$ac = 3, ad+bc = 5, bd = -2$

となることが予想されます。

$(2x + 3y + 1)(x + y - 2)$を展開すると、

$2x^2 + 2xy - 4x + 3xy + 3y^2 - 6y + x + y - 2 = 2x^2 + 5xy + 3y^2 - 3x - 5y - 2$

となり、元の式と一致します。

3. 最終的な答え

$(2x + 3y + 1)(x + y - 2)$