与えられた式 $\sqrt{x^2-4x+4} - \sqrt{x^2+2x+1}$ を、xの範囲によって場合分けして簡単にします。

1. 問題の内容

与えられた式 $\sqrt{x^2-4x+4} - \sqrt{x^2+2x+1}$ を、xの範囲によって場合分けして簡単にします。

2. 解き方の手順

まず、根号の中身を因数分解します。

$x^2 - 4x + 4 = (x-2)^2$

$x^2 + 2x + 1 = (x+1)^2$

したがって、与えられた式は

$\sqrt{(x-2)^2} - \sqrt{(x+1)^2} = |x-2| - |x+1|$

となります。絶対値を外すために、xの範囲によって場合分けします。

(1) $x < -1$ のとき

$x-2 < 0$ なので $|x-2| = -(x-2) = -x+2$

$x+1 < 0$ なので $|x+1| = -(x+1) = -x-1$

したがって、

$|x-2| - |x+1| = (-x+2) - (-x-1) = -x+2+x+1 = 3$

(2) $-1 \le x \le 2$ のとき

$x-2 \le 0$ なので $|x-2| = -(x-2) = -x+2$

$x+1 \ge 0$ なので $|x+1| = x+1$

したがって、

$|x-2| - |x+1| = (-x+2) - (x+1) = -x+2-x-1 = -2x+1$

(3) $x > 2$ のとき

$x-2 > 0$ なので $|x-2| = x-2$

$x+1 > 0$ なので $|x+1| = x+1$

したがって、

$|x-2| - |x+1| = (x-2) - (x+1) = x-2-x-1 = -3$

3. 最終的な答え

* $x < -1$ のとき: 3

* $-1 \le x \le 2$ のとき: $-2x+1$

* $x > 2$ のとき: -3