実数 $a, b$ について、以下の2つの条件 $p, q$ が同値であることを証明します。 条件 $p$: $a > 1$ かつ $b > 1$ 条件 $q$: $a + b > 2$ かつ $(a - 1)(b - 1) > 0$

1. 問題の内容

実数 $a, b$ について、以下の2つの条件 $p, q$ が同値であることを証明します。

条件 $p$: $a > 1$ かつ $b > 1$

条件 $q$: $a + b > 2$ かつ $(a - 1)(b - 1) > 0$

2. 解き方の手順

(1) $p \Rightarrow q$ を示す

$a > 1$ かつ $b > 1$ を仮定します。

このとき、$a - 1 > 0$ かつ $b - 1 > 0$ なので、$(a - 1)(b - 1) > 0$ が成り立ちます。

また、$a > 1$ かつ $b > 1$ より、$a + b > 1 + 1 = 2$ なので、$a + b > 2$ が成り立ちます。

したがって、$a + b > 2$ かつ $(a - 1)(b - 1) > 0$ が成り立つので、$p \Rightarrow q$ が示されました。

(2) $q \Rightarrow p$ を示す

$a + b > 2$ かつ $(a - 1)(b - 1) > 0$ を仮定します。

$(a - 1)(b - 1) > 0$ であることから、$a - 1$ と $b - 1$ は同符号です。つまり、$a - 1 > 0$ かつ $b - 1 > 0$、または、$a - 1 < 0$ かつ $b - 1 < 0$ のいずれかが成り立ちます。

もし、$a - 1 < 0$ かつ $b - 1 < 0$ ならば、$a < 1$ かつ $b < 1$ です。このとき、$a + b < 1 + 1 = 2$ となり、$a + b > 2$ という仮定に矛盾します。

したがって、$a - 1 > 0$ かつ $b - 1 > 0$ でなければなりません。これは、$a > 1$ かつ $b > 1$ を意味します。

よって、$a > 1$ かつ $b > 1$ が成り立つので、$q \Rightarrow p$ が示されました。

(3) まとめ

(1)と(2)より、$p \Rightarrow q$ かつ $q \Rightarrow p$ が示されたので、$p$ と $q$ は同値です。

3. 最終的な答え

$a, b$ が実数のとき、$a > 1$ かつ $b > 1$ であることと、$a + b > 2$ かつ $(a - 1)(b - 1) > 0$ であることは同値である。