問題は、与えられた等比数列の初項から第$n$項までの和を求める問題です。問題には4つの小問があり、それぞれ初項と公比、または数列の最初のいくつかの項が与えられています。今回は、(1)と(4)を解きます。 (1) 初項が7、公比が2の等比数列の初項から第$n$項までの和を求めます。 (4) 18, -6, 2, ...で与えられた等比数列の初項から第$n$項までの和を求めます。

1. 問題の内容

問題は、与えられた等比数列の初項から第$n$項までの和を求める問題です。問題には4つの小問があり、それぞれ初項と公比、または数列の最初のいくつかの項が与えられています。今回は、(1)と(4)を解きます。

(1) 初項が7、公比が2の等比数列の初項から第$n$項までの和を求めます。

(4) 18, -6, 2, ...で与えられた等比数列の初項から第$n$項までの和を求めます。

2. 解き方の手順

(1) 初項が7、公比が2の等比数列の和

等比数列の和の公式は、初項を$a$、公比を$r$（ただし、$r \neq 1$）、項数を$n$とすると、以下のようになります。

$S_n = \frac{a(r^n - 1)}{r - 1}$

この問題では、$a = 7$、$r = 2$なので、この値を代入します。

$S_n = \frac{7(2^n - 1)}{2 - 1}$

$S_n = 7(2^n - 1)$

(4) 18, -6, 2, ...で与えられた等比数列の和

まず、初項$a$と公比$r$を求めます。

初項は$a = 18$です。

公比は$r = \frac{-6}{18} = -\frac{1}{3}$です。

等比数列の和の公式は、初項を$a$、公比を$r$（ただし、$r \neq 1$）、項数を$n$とすると、以下のようになります。

$S_n = \frac{a(1 - r^n)}{1 - r}$

この問題では、$a = 18$、$r = -\frac{1}{3}$なので、この値を代入します。

$S_n = \frac{18(1 - (-\frac{1}{3})^n)}{1 - (-\frac{1}{3})}$

$S_n = \frac{18(1 - (-\frac{1}{3})^n)}{\frac{4}{3}}$

$S_n = \frac{18 \times 3}{4}(1 - (-\frac{1}{3})^n)$

$S_n = \frac{27}{2}(1 - (-\frac{1}{3})^n)$

3. 最終的な答え

(1) 初項が7、公比が2の等比数列の初項から第$n$項までの和は、$7(2^n - 1)$です。

(4) 18, -6, 2, ...で与えられた等比数列の初項から第$n$項までの和は、$\frac{27}{2}(1 - (-\frac{1}{3})^n)$です。