等比数列の初項から第 $n$ 項までの和を求める問題です。具体的には、以下の2つの等比数列について和を求めます。 (1) 初項7, 公比2 (2) 初項10, 公比-4

1. 問題の内容

等比数列の初項から第 $n$ 項までの和を求める問題です。具体的には、以下の2つの等比数列について和を求めます。

(1) 初項7, 公比2

(2) 初項10, 公比-4

2. 解き方の手順

等比数列の初項 $a$、公比 $r$ の数列の、初項から第 $n$ 項までの和 $S_n$ は、以下の公式で求められます。

$r \neq 1$ のとき

$S_n = \frac{a(1-r^n)}{1-r} = \frac{a(r^n - 1)}{r-1}$

$r = 1$ のとき

$S_n = na$

問題の(1)と(2)では $r \neq 1$ なので、上記の公式を利用します。

(1) 初項 $a=7$, 公比 $r=2$ の場合

$S_n = \frac{7(2^n - 1)}{2-1} = 7(2^n - 1)$

(2) 初項 $a=10$, 公比 $r=-4$ の場合

$S_n = \frac{10(1-(-4)^n)}{1-(-4)} = \frac{10(1-(-4)^n)}{5} = 2(1-(-4)^n)$

3. 最終的な答え

(1) $7(2^n - 1)$

(2) $2(1-(-4)^n)$