$k$ は定数である。方程式 $kx^2 + 4x + 2 = 0$ の解の種類を判別せよ。

1. 問題の内容

$k$ は定数である。方程式 $kx^2 + 4x + 2 = 0$ の解の種類を判別せよ。

2. 解き方の手順

与えられた二次方程式 $kx^2 + 4x + 2 = 0$ の解の種類を判別します。

まず、$k=0$ の場合を考えます。

$k=0$ のとき、方程式は $4x + 2 = 0$ となり、$x = -\frac{1}{2}$ という一つの実数解を持ちます。

次に、$k \neq 0$ の場合を考えます。

このとき、与えられた方程式は二次方程式なので、判別式 $D$ を用いて解の種類を判別できます。

$D = b^2 - 4ac$ であり、この問題の場合、$a = k$, $b = 4$, $c = 2$ となります。

したがって、$D = 4^2 - 4 \cdot k \cdot 2 = 16 - 8k$ です。

判別式 $D$ の値によって、解の種類は以下のようになります。

* $D > 0$ のとき、異なる2つの実数解を持つ

* $D = 0$ のとき、重解（実数解）を持つ

* $D < 0$ のとき、異なる2つの虚数解を持つ

$D = 16 - 8k > 0$ のとき、$16 > 8k$ となり、$k < 2$ です。ただし、$k \neq 0$ なので、$k < 2$ かつ $k \neq 0$。

$D = 16 - 8k = 0$ のとき、$16 = 8k$ となり、$k = 2$ です。

$D = 16 - 8k < 0$ のとき、$16 < 8k$ となり、$k > 2$ です。

以上をまとめると、

* $k = 0$ のとき、一つの実数解を持つ。

* $k < 0$ のとき、異なる2つの実数解を持つ。

* $0 < k < 2$ のとき、異なる2つの実数解を持つ。

* $k = 2$ のとき、重解を持つ。

* $k > 2$ のとき、異なる2つの虚数解を持つ。

3. 最終的な答え

* $k < 0$ または $0 < k < 2$ のとき、異なる2つの実数解を持つ

* $k = 2$ のとき、重解を持つ

* $k > 2$ のとき、異なる2つの虚数解を持つ

* $k = 0$ のとき、一つの実数解を持つ