与えられた式 $x^2 + xy + x + 2y - 2$ を因数分解します。

1. 問題の内容

与えられた式 $x^2 + xy + x + 2y - 2$ を因数分解します。

2. 解き方の手順

まず、式を$x$について整理します。

$x^2 + xy + x + 2y - 2 = x^2 + (y+1)x + (2y-2)$

次に、定数項 $2y - 2$ を $2(y-1)$ と変形し、全体の式が因数分解できる形を探します。

$x^2 + (y+1)x + 2(y-1)$

ここで、$x$に関する二次式と見て、因数分解形を $(x + a)(x + b)$ と仮定します。展開すると $x^2 + (a+b)x + ab$ となります。

したがって、$a + b = y + 1$ および $ab = 2(y-1)$ を満たす $a$ と $b$ を探します。

$a = 2$ と $b = y - 1$ を試してみます。このとき、

$a + b = 2 + (y - 1) = y + 1$

$ab = 2(y - 1) = 2y - 2$

これらの条件を満たしているので、$a = 2$ と $b = y - 1$ で正しいことが分かります。

したがって、$x^2 + (y+1)x + 2(y-1)$ は $(x + 2)(x + y - 1)$ と因数分解できます。

3. 最終的な答え

$(x+2)(x+y-1)$