与えられた2次方程式について、2つの解の間に指定された関係があるとき、定数 $m$ の値と2つの解を求める問題です。具体的には、以下の4つの小問があります。 (1) $x^2 + mx + 27 = 0$　[1つの解が他の解の3倍] (2) $x^2 - (m+1)x + 2 = 0$　[2つの解の差が1] (3) $x^2 - 6x + m = 0$　[1つの解が他の解の平方] (4) $x^2 + (m+1)x - m = 0$　[2つの解の比が2:3]

はい、承知いたしました。

1. 問題の内容

与えられた2次方程式について、2つの解の間に指定された関係があるとき、定数 $m$ の値と2つの解を求める問題です。具体的には、以下の4つの小問があります。

(1) $x^2 + mx + 27 = 0$　[1つの解が他の解の3倍]

(2) $x^2 - (m+1)x + 2 = 0$　[2つの解の差が1]

(3) $x^2 - 6x + m = 0$　[1つの解が他の解の平方]

(4) $x^2 + (m+1)x - m = 0$　[2つの解の比が2:3]

2. 解き方の手順

(1)

解を $\alpha$、$3\alpha$ とおく。解と係数の関係より、

$\alpha + 3\alpha = -m$

$\alpha \cdot 3\alpha = 27$

整理すると、

$4\alpha = -m$

$3\alpha^2 = 27$

$3\alpha^2 = 27$ より $\alpha^2 = 9$。したがって、$\alpha = \pm 3$。

$\alpha = 3$ のとき、$m = -12$。解は $3$、$9$。

$\alpha = -3$ のとき、$m = 12$。解は $-3$、$-9$。

(2)

解を $\alpha$、$\alpha+1$ とおく。解と係数の関係より、

$\alpha + (\alpha+1) = m+1$

$\alpha(\alpha+1) = 2$

整理すると、

$2\alpha + 1 = m+1$

$\alpha^2 + \alpha = 2$

$\alpha^2 + \alpha - 2 = 0$ より $(\alpha + 2)(\alpha - 1) = 0$。したがって、$\alpha = -2, 1$。

$\alpha = -2$ のとき、$m = -4$。解は $-2$、$-1$。

$\alpha = 1$ のとき、$m = 2$。解は $1$、$2$。

(3)

解を $\alpha$、$\alpha^2$ とおく。解と係数の関係より、

$\alpha + \alpha^2 = 6$

$\alpha \cdot \alpha^2 = m$

整理すると、

$\alpha^2 + \alpha - 6 = 0$

$\alpha^3 = m$

$\alpha^2 + \alpha - 6 = 0$ より $(\alpha + 3)(\alpha - 2) = 0$。したがって、$\alpha = -3, 2$。

$\alpha = -3$ のとき、$m = (-3)^3 = -27$。解は $-3$、$9$。

$\alpha = 2$ のとき、$m = 2^3 = 8$。解は $2$、$4$。

(4)

解を $2\alpha$、$3\alpha$ とおく。解と係数の関係より、

$2\alpha + 3\alpha = -(m+1)$

$2\alpha \cdot 3\alpha = -m$

整理すると、

$5\alpha = -m-1$

$6\alpha^2 = -m$

$m = -6\alpha^2$ を $5\alpha = -m-1$ に代入すると、

$5\alpha = 6\alpha^2 - 1$

$6\alpha^2 - 5\alpha - 1 = 0$

$(6\alpha + 1)(\alpha - 1) = 0$。したがって、$\alpha = -\frac{1}{6}, 1$。

$\alpha = -\frac{1}{6}$ のとき、$m = -6(\frac{1}{36}) = -\frac{1}{6}$。解は $-\frac{1}{3}$、$-\frac{1}{2}$。

$\alpha = 1$ のとき、$m = -6$。解は $2$、$3$。

3. 最終的な答え

(1) $m = -12$ のとき、解は $3$、$9$。 $m = 12$ のとき、解は $-3$、$-9$。

(2) $m = -4$ のとき、解は $-2$、$-1$。 $m = 2$ のとき、解は $1$、$2$。

(3) $m = -27$ のとき、解は $-3$、$9$。 $m = 8$ のとき、解は $2$、$4$。

(4) $m = -\frac{1}{6}$ のとき、解は $-\frac{1}{3}$、$-\frac{1}{2}$。 $m = -6$ のとき、解は $2$、$3$。