問題は2つあります。 (1) $a:b:c = 2:3:4$のとき、$\frac{ab+bc+ca}{a^2+b^2+c^2}$ の値を求めよ。 (2) $a:b:c = 2:3:4$ かつ $3a+2b+c=32$のとき、$a, b, c$ の値を求めよ。

1. 問題の内容

問題は2つあります。

(1) $a:b:c = 2:3:4$のとき、$\frac{ab+bc+ca}{a^2+b^2+c^2}$ の値を求めよ。

(2) $a:b:c = 2:3:4$ かつ $3a+2b+c=32$のとき、$a, b, c$ の値を求めよ。

2. 解き方の手順

(1)

$a:b:c = 2:3:4$ より、$a=2k, b=3k, c=4k$ (ただし、$k$ は0でない実数)と表せる。

これを$\frac{ab+bc+ca}{a^2+b^2+c^2}$ に代入する。

$ab = (2k)(3k) = 6k^2$

$bc = (3k)(4k) = 12k^2$

$ca = (4k)(2k) = 8k^2$

$a^2 = (2k)^2 = 4k^2$

$b^2 = (3k)^2 = 9k^2$

$c^2 = (4k)^2 = 16k^2$

よって、

$\frac{ab+bc+ca}{a^2+b^2+c^2} = \frac{6k^2+12k^2+8k^2}{4k^2+9k^2+16k^2} = \frac{26k^2}{29k^2} = \frac{26}{29}$

(2)

$a:b:c = 2:3:4$ より、$a=2k, b=3k, c=4k$ (ただし、$k$ は0でない実数)と表せる。

これを $3a+2b+c=32$ に代入する。

$3(2k) + 2(3k) + 4k = 32$

$6k + 6k + 4k = 32$

$16k = 32$

$k = 2$

したがって、$a = 2k = 2(2) = 4$, $b = 3k = 3(2) = 6$, $c = 4k = 4(2) = 8$

3. 最終的な答え

(1) $\frac{26}{29}$

(2) $a=4, b=6, c=8$