与えられた式 $x^2 - xy + x + y - 2$ を因数分解せよ。

1. 問題の内容

与えられた式 $x^2 - xy + x + y - 2$ を因数分解せよ。

2. 解き方の手順

まず、与えられた式を $x$ について整理します。

$x^2 - xy + x + y - 2 = x^2 + (1-y)x + (y-2)$

次に、定数項 $y-2$ を因数分解できるか試します。

$y-2 = (y+a)(y+b)$ となる $a, b$ は簡単には見つからないため、別の方法を考えます。

与式を $x$ の二次式と見て、因数分解できる形 $(x+A)(x+B)$ を探します。ここで、$A$ と $B$ は $y$ の式です。

展開すると $x^2 + (A+B)x + AB$ となります。これと $x^2 + (1-y)x + (y-2)$ を比較すると、

$A+B = 1-y$

$AB = y-2$

となる $A$ と $B$ を見つければ良いことになります。

$AB = y-2$ より、$A = 1, B = y-2$ の場合を考えてみます。このとき、$A+B = 1 + (y-2) = y-1$ となり、これは $1-y$ とは異なります。

$A = -1, B = 2-y$ の場合を考えてみます。このとき、$A+B = -1 + (2-y) = 1-y$ となり、これは $1-y$ と一致します。

したがって、$A = -1$, $B = 2-y$ が見つかりました。

よって、$x^2 + (1-y)x + (y-2) = (x-1)(x+2-y)$ と因数分解できます。

3. 最終的な答え

$(x-1)(x-y+2)$