等比数列 $\{2 \cdot (\frac{3t}{4})^{n-1}\}$ が収束するような $t$ の値の範囲を求め、そのときの極限値を求める問題です。

1. 問題の内容

等比数列 $\{2 \cdot (\frac{3t}{4})^{n-1}\}$ が収束するような $t$ の値の範囲を求め、そのときの極限値を求める問題です。

2. 解き方の手順

等比数列が収束するための条件は、公比 $r$ が $-1 < r \leq 1$ を満たすことです。

この数列の公比は $\frac{3t}{4}$ なので、

$-1 < \frac{3t}{4} \leq 1$

を満たす $t$ の範囲を求めます。

まず、 $-1 < \frac{3t}{4}$ を解きます。両辺に4をかけると、

$-4 < 3t$

両辺を3で割ると、

$-\frac{4}{3} < t$

次に、 $\frac{3t}{4} \leq 1$ を解きます。両辺に4をかけると、

$3t \leq 4$

両辺を3で割ると、

$t \leq \frac{4}{3}$

したがって、$-\frac{4}{3} < t \leq \frac{4}{3}$ が $t$ の範囲となります。

次に、極限値を求めます。

$t = \frac{4}{3}$ のとき、公比は1となり、数列は $\{2, 2, 2, ...\}$ となり、極限値は2です。

$-\frac{4}{3} < t < \frac{4}{3}$ のとき、公比は $-1 < \frac{3t}{4} < 1$ となり、数列は0に収束します。

3. 最終的な答え

収束するための $t$ の範囲： $-\frac{4}{3} < t \leq \frac{4}{3}$

$t = \frac{4}{3}$ のとき、極限値は 2

$-\frac{4}{3} < t < \frac{4}{3}$ のとき、極限値は 0