実数係数の多項式 $f(x) = x^n + a_{n-1}x^{n-1} + \cdots + a_1x + a_0$ が与えられているとき、複素数 $\alpha$ に対して $f(\alpha) = 0$ ならば $f(\overline{\alpha}) = 0$ であることを示す。ここで $\overline{\alpha}$ は $\alpha$ の複素共役を表す。

1. 問題の内容

実数係数の多項式 $f(x) = x^n + a_{n-1}x^{n-1} + \cdots + a_1x + a_0$ が与えられているとき、複素数 $\alpha$ に対して $f(\alpha) = 0$ ならば $f(\overline{\alpha}) = 0$ であることを示す。ここで $\overline{\alpha}$ は $\alpha$ の複素共役を表す。

2. 解き方の手順

まず、$f(x)$ に $x = \alpha$ を代入すると、

$f(\alpha) = \alpha^n + a_{n-1}\alpha^{n-1} + \cdots + a_1\alpha + a_0 = 0$

となる。

次に、この式の両辺の複素共役をとる。複素共役の性質として、複素数の和の共役はそれぞれの共役の和に等しく、複素数の積の共役はそれぞれの共役の積に等しい。また、実数の共役はそれ自身に等しい。したがって、

$\overline{f(\alpha)} = \overline{\alpha^n + a_{n-1}\alpha^{n-1} + \cdots + a_1\alpha + a_0} = \overline{\alpha^n} + \overline{a_{n-1}\alpha^{n-1}} + \cdots + \overline{a_1\alpha} + \overline{a_0}$

$= \overline{\alpha}^n + \overline{a_{n-1}}\overline{\alpha}^{n-1} + \cdots + \overline{a_1}\overline{\alpha} + \overline{a_0}$

ここで、$a_i$ は実数なので、$\overline{a_i} = a_i$ である。したがって、

$\overline{f(\alpha)} = \overline{\alpha}^n + a_{n-1}\overline{\alpha}^{n-1} + \cdots + a_1\overline{\alpha} + a_0 = f(\overline{\alpha})$

また、$f(\alpha) = 0$ なので、$\overline{f(\alpha)} = \overline{0} = 0$ である。

したがって、$f(\overline{\alpha}) = 0$ が成り立つ。

3. 最終的な答え

$f(\alpha) = 0$ ならば $f(\overline{\alpha}) = 0$ である。