(1) 第2項が6で、第2項から第4項までの和が42である等比数列の初項と公比を求めます。 (2) 初項から第10項までの和が2で、初項から第20項までの和が8である等比数列の初項から第30項までの和を求めます。

1. 問題の内容

(1) 第2項が6で、第2項から第4項までの和が42である等比数列の初項と公比を求めます。

(2) 初項から第10項までの和が2で、初項から第20項までの和が8である等比数列の初項から第30項までの和を求めます。

2. 解き方の手順

(1)

初項を$a$、公比を$r$とします。

第2項は$ar=6$と表せます。

第2項から第4項までの和は$ar + ar^2 + ar^3 = 42$と表せます。

$ar = 6$を代入して、$6 + 6r + 6r^2 = 42$。

両辺を6で割ると、$1 + r + r^2 = 7$。

$r^2 + r - 6 = 0$。

$(r+3)(r-2) = 0$。

したがって、$r = -3$または$r = 2$。

$r = -3$のとき、$a(-3) = 6$より、$a = -2$。

$r = 2$のとき、$a(2) = 6$より、$a = 3$。

したがって、初項は-2または3、公比は-3または2となります。

(2)

初項を$a$、公比を$r$とします。

初項から第n項までの和の公式は$S_n = \frac{a(1-r^n)}{1-r}$です。

初項から第10項までの和が2なので、$S_{10} = \frac{a(1-r^{10})}{1-r} = 2$。

初項から第20項までの和が8なので、$S_{20} = \frac{a(1-r^{20})}{1-r} = 8$。

$\frac{S_{20}}{S_{10}} = \frac{\frac{a(1-r^{20})}{1-r}}{\frac{a(1-r^{10})}{1-r}} = \frac{1-r^{20}}{1-r^{10}} = \frac{8}{2} = 4$。

$\frac{(1-r^{10})(1+r^{10})}{1-r^{10}} = 1+r^{10} = 4$。

$r^{10} = 3$。

$S_{30} = \frac{a(1-r^{30})}{1-r} = \frac{a(1-(r^{10})^3)}{1-r} = \frac{a(1-3^3)}{1-r} = \frac{a(1-27)}{1-r} = \frac{-26a}{1-r}$。

$S_{10} = \frac{a(1-r^{10})}{1-r} = \frac{a(1-3)}{1-r} = \frac{-2a}{1-r} = 2$。

$\frac{a}{1-r} = -1$。

$S_{30} = -26 (\frac{a}{1-r}) = -26 (-1) = 26$。

3. 最終的な答え

(1) 初項 -2, 公比 -3 または 初項 3, 公比 2

(2) 第30項までの和：26