$(x-2)^6$ を展開せよ。

1. 問題の内容

$(x-2)^6$ を展開せよ。

2. 解き方の手順

二項定理を用いて展開します。二項定理は以下の式で表されます。

$(a+b)^n = \sum_{k=0}^{n} \binom{n}{k} a^{n-k} b^k$

この問題では、$a = x$, $b = -2$, $n = 6$ です。したがって、

$(x-2)^6 = \sum_{k=0}^{6} \binom{6}{k} x^{6-k} (-2)^k$

各項を計算します。

$k = 0: \binom{6}{0} x^6 (-2)^0 = 1 \cdot x^6 \cdot 1 = x^6$

$k = 1: \binom{6}{1} x^5 (-2)^1 = 6 \cdot x^5 \cdot (-2) = -12x^5$

$k = 2: \binom{6}{2} x^4 (-2)^2 = 15 \cdot x^4 \cdot 4 = 60x^4$

$k = 3: \binom{6}{3} x^3 (-2)^3 = 20 \cdot x^3 \cdot (-8) = -160x^3$

$k = 4: \binom{6}{4} x^2 (-2)^4 = 15 \cdot x^2 \cdot 16 = 240x^2$

$k = 5: \binom{6}{5} x^1 (-2)^5 = 6 \cdot x \cdot (-32) = -192x$

$k = 6: \binom{6}{6} x^0 (-2)^6 = 1 \cdot 1 \cdot 64 = 64$

したがって、

$(x-2)^6 = x^6 - 12x^5 + 60x^4 - 160x^3 + 240x^2 - 192x + 64$

3. 最終的な答え

$x^6 - 12x^5 + 60x^4 - 160x^3 + 240x^2 - 192x + 64$