変数 $x$ と $y$ が条件 $x+y=1$ を満たすとき、$x^2 + y^2$ の最小値を求める問題です。

1. 問題の内容

変数 $x$ と $y$ が条件 $x+y=1$ を満たすとき、$x^2 + y^2$ の最小値を求める問題です。

2. 解き方の手順

条件 $x+y=1$ から $y = 1-x$ と表せます。

これを $x^2 + y^2$ に代入すると、

$x^2 + (1-x)^2 = x^2 + 1 - 2x + x^2 = 2x^2 - 2x + 1$ となります。

この式を平方完成します。

$2x^2 - 2x + 1 = 2(x^2 - x) + 1 = 2(x^2 - x + \frac{1}{4} - \frac{1}{4}) + 1 = 2((x - \frac{1}{2})^2 - \frac{1}{4}) + 1 = 2(x - \frac{1}{2})^2 - \frac{1}{2} + 1 = 2(x - \frac{1}{2})^2 + \frac{1}{2}$

$2(x - \frac{1}{2})^2 + \frac{1}{2}$ は、$x = \frac{1}{2}$ のとき最小値 $\frac{1}{2}$ をとります。

このとき、$y = 1 - x = 1 - \frac{1}{2} = \frac{1}{2}$ です。

したがって、$x^2 + y^2$ の最小値は $\frac{1}{2}$ です。

3. 最終的な答え

$\frac{1}{2}$