漸化式 $a_1 = 2$, $a_2 = 3$, $a_{n+2} = a_{n+1} + 2a_n$ で定義される数列の一般項 $a_n$ を求める問題です。求められた一般項は $a_n = \frac{\boxed{1} \cdot \boxed{2}^{n-1} + \left(\boxed{3} | \boxed{4}\right)^{n-1}}{\boxed{5}}$ の形で表されます。

1. 問題の内容

漸化式 $a_1 = 2$, $a_2 = 3$, $a_{n+2} = a_{n+1} + 2a_n$ で定義される数列の一般項 $a_n$ を求める問題です。求められた一般項は

$a_n = \frac{\boxed{1} \cdot \boxed{2}^{n-1} + \left(\boxed{3} | \boxed{4}\right)^{n-1}}{\boxed{5}}$

の形で表されます。

2. 解き方の手順

与えられた漸化式は $a_{n+2} = a_{n+1} + 2a_n$ です。これは特性方程式を用いることで解くことができます。

まず、特性方程式を立てます。$a_{n+2}$, $a_{n+1}$, $a_n$ をそれぞれ $x^2$, $x$, $1$ で置き換えると、

$x^2 = x + 2$

という特性方程式が得られます。

この方程式を解きます。

$x^2 - x - 2 = 0$

$(x-2)(x+1) = 0$

よって、$x = 2, -1$ が得られます。

したがって、一般項は $a_n = A \cdot 2^n + B \cdot (-1)^n$ の形で表されます。

初期条件 $a_1 = 2$, $a_2 = 3$ を用いて、定数 $A$ と $B$ を決定します。

$a_1 = A \cdot 2^1 + B \cdot (-1)^1 = 2A - B = 2$

$a_2 = A \cdot 2^2 + B \cdot (-1)^2 = 4A + B = 3$

これらの連立方程式を解きます。

$2A - B = 2$

$4A + B = 3$

二つの式を足し合わせると、

$6A = 5$

$A = \frac{5}{6}$

$B = 2A - 2 = 2 \cdot \frac{5}{6} - 2 = \frac{5}{3} - 2 = \frac{5 - 6}{3} = -\frac{1}{3}$

したがって、$a_n = \frac{5}{6} \cdot 2^n - \frac{1}{3} \cdot (-1)^n$

これを問題の形式に合わせるために、式を整理します。

$a_n = \frac{5 \cdot 2^n - 2 \cdot (-1)^n}{6}$

$a_n = \frac{5 \cdot 2^n + (-2) \cdot (-1)^n}{6}$

$a_n = \frac{5 \cdot 2^n + (-2) \cdot (-1)^n}{6} = \frac{5 \cdot 2^{n-1} \cdot 2 - 2 \cdot (-1)^{n-1} \cdot (-1)}{6} = \frac{10 \cdot 2^{n-1} + 2 \cdot (-1)^{n-1}}{6}$

$a_n = \frac{5 \cdot 2^{n-1} + (-1)^{n-1}}{3} = \frac{5 \cdot 2^{n-1} + (-1)^{n-1} }{3}$

3. 最終的な答え

$a_n = \frac{5 \cdot 2^{n-1} + (-1)^{n-1}}{3}$

よって、空欄を埋めると、

$\boxed{1}=5, \boxed{2}=2, \boxed{3}=-1, \boxed{4}=-1, \boxed{5}=3$

答え:

$a_n = \frac{5 \cdot 2^{n-1} + (-1)^{n-1}}{3}$