次の和 $S$ を求めます。 (1) $S = \frac{1}{1 \cdot 4} + \frac{1}{4 \cdot 7} + \frac{1}{7 \cdot 10} + \dots + \frac{1}{(3n-2)(3n+1)}$ (2) $S = \frac{1}{1 \cdot 3} + \frac{1}{2 \cdot 4} + \frac{1}{3 \cdot 5} + \dots + \frac{1}{n(n+2)}$ ただし、$n \geq 2$ とする。

1. 問題の内容

次の和 $S$ を求めます。

(1) $S = \frac{1}{1 \cdot 4} + \frac{1}{4 \cdot 7} + \frac{1}{7 \cdot 10} + \dots + \frac{1}{(3n-2)(3n+1)}$

(2) $S = \frac{1}{1 \cdot 3} + \frac{1}{2 \cdot 4} + \frac{1}{3 \cdot 5} + \dots + \frac{1}{n(n+2)}$ ただし、$n \geq 2$ とする。

2. 解き方の手順

(1)

各項を部分分数に分解します。

$\frac{1}{(3n-2)(3n+1)} = \frac{A}{3n-2} + \frac{B}{3n+1}$ とおくと、

$1 = A(3n+1) + B(3n-2)$

$3n$ の係数を比較して $3A+3B=0$ より $A+B=0$

定数項を比較して $A-2B=1$

よって $A = -B$ を $A-2B=1$ に代入して、 $-B-2B=1$ より $-3B=1$ で $B=-\frac{1}{3}$

$A = \frac{1}{3}$

したがって、

$\frac{1}{(3n-2)(3n+1)} = \frac{1}{3} \left( \frac{1}{3n-2} - \frac{1}{3n+1} \right)$

$S = \frac{1}{3} \left( \frac{1}{1} - \frac{1}{4} \right) + \frac{1}{3} \left( \frac{1}{4} - \frac{1}{7} \right) + \dots + \frac{1}{3} \left( \frac{1}{3n-2} - \frac{1}{3n+1} \right)$

$S = \frac{1}{3} \left( 1 - \frac{1}{4} + \frac{1}{4} - \frac{1}{7} + \dots + \frac{1}{3n-2} - \frac{1}{3n+1} \right)$

$S = \frac{1}{3} \left( 1 - \frac{1}{3n+1} \right)$

$S = \frac{1}{3} \left( \frac{3n+1-1}{3n+1} \right)$

$S = \frac{1}{3} \left( \frac{3n}{3n+1} \right)$

$S = \frac{n}{3n+1}$

(2)

各項を部分分数に分解します。

$\frac{1}{n(n+2)} = \frac{A}{n} + \frac{B}{n+2}$ とおくと、

$1 = A(n+2) + Bn$

$n$ の係数を比較して $A+B=0$ より $A=-B$

定数項を比較して $2A=1$ より $A=\frac{1}{2}$

よって $B=-\frac{1}{2}$

したがって、

$\frac{1}{n(n+2)} = \frac{1}{2} \left( \frac{1}{n} - \frac{1}{n+2} \right)$

$S = \frac{1}{2} \left( \frac{1}{1} - \frac{1}{3} \right) + \frac{1}{2} \left( \frac{1}{2} - \frac{1}{4} \right) + \frac{1}{2} \left( \frac{1}{3} - \frac{1}{5} \right) + \dots + \frac{1}{2} \left( \frac{1}{n} - \frac{1}{n+2} \right)$

$S = \frac{1}{2} \left( 1 + \frac{1}{2} - \frac{1}{n+1} - \frac{1}{n+2} \right)$

$S = \frac{1}{2} \left( \frac{3}{2} - \frac{n+2+n+1}{(n+1)(n+2)} \right)$

$S = \frac{1}{2} \left( \frac{3}{2} - \frac{2n+3}{(n+1)(n+2)} \right)$

$S = \frac{1}{2} \left( \frac{3(n+1)(n+2) - 2(2n+3)}{2(n+1)(n+2)} \right)$

$S = \frac{3(n^2+3n+2) - 4n-6}{4(n+1)(n+2)}$

$S = \frac{3n^2+9n+6-4n-6}{4(n+1)(n+2)}$

$S = \frac{3n^2+5n}{4(n+1)(n+2)}$

$S = \frac{n(3n+5)}{4(n+1)(n+2)}$

3. 最終的な答え

(1) $S = \frac{n}{3n+1}$

(2) $S = \frac{n(3n+5)}{4(n+1)(n+2)}$