関数 $f(x) = \frac{x+4}{2x+a}$ について、$f^{-1}(x) = f(x)$ が成り立つように定数 $a$ の値を求めよ。

1. 問題の内容

関数 $f(x) = \frac{x+4}{2x+a}$ について、$f^{-1}(x) = f(x)$ が成り立つように定数 $a$ の値を求めよ。

2. 解き方の手順

まず、$f^{-1}(x)$ を求める。

$y = \frac{x+4}{2x+a}$ とおく。

これを $x$ について解く。

$y(2x+a) = x+4$

$2xy + ay = x+4$

$2xy - x = 4 - ay$

$x(2y-1) = 4 - ay$

$x = \frac{4-ay}{2y-1}$

よって、

$f^{-1}(x) = \frac{4-ax}{2x-1}$

$f^{-1}(x) = f(x)$ であるから、

$\frac{4-ax}{2x-1} = \frac{x+4}{2x+a}$

$(4-ax)(2x+a) = (x+4)(2x-1)$

$8x+4a-2ax^2-a^2x = 2x^2 - x + 8x - 4$

$8x+4a-2ax^2-a^2x = 2x^2 + 7x - 4$

$-2ax^2 - a^2x + 8x + 4a = 2x^2 + 7x - 4$

両辺の係数を比較して、

$-2a = 2$

$-a^2 + 8 = 7$

$4a = -4$

$-2a = 2$ より、$a = -1$

$-a^2 + 8 = 7$ より、$a^2 = 1$ よって、$a = \pm 1$

$4a = -4$ より、$a = -1$

したがって、$a = -1$

3. 最終的な答え

$a = -1$