第2項が3、初項から第3項までの和が13である等比数列の初項と公比を求める問題です。

1. 問題の内容

第2項が3、初項から第3項までの和が13である等比数列の初項と公比を求める問題です。

2. 解き方の手順

初項を $a$ 、公比を $r$ とします。

第2項が3であることから、

$ar = 3$　...(1)

初項から第3項までの和が13であることから、

$a + ar + ar^2 = 13$ ...(2)

(1)より $a = \frac{3}{r}$ なので、これを(2)に代入すると、

$\frac{3}{r} + 3 + 3r = 13$

両辺に $r$ をかけると、

$3 + 3r + 3r^2 = 13r$

$3r^2 - 10r + 3 = 0$

$(3r - 1)(r - 3) = 0$

よって、$r = \frac{1}{3}, 3$

(i) $r = \frac{1}{3}$ のとき、(1)より $a \cdot \frac{1}{3} = 3$ だから、 $a = 9$

(ii) $r = 3$ のとき、(1)より $a \cdot 3 = 3$ だから、$a = 1$

したがって、(a, r) = (9, 1/3), (1, 3)

3. 最終的な答え

初項 9、公比 1/3 または 初項 1、公比 3