与えられた式 $a(b^2-c^2) + b(c^2-a^2) + c(a^2-b^2)$ を展開し、整理して簡単にせよ。

1. 問題の内容

与えられた式 $a(b^2-c^2) + b(c^2-a^2) + c(a^2-b^2)$ を展開し、整理して簡単にせよ。

2. 解き方の手順

まず、与えられた式を展開します。

$a(b^2-c^2) + b(c^2-a^2) + c(a^2-b^2) = ab^2 - ac^2 + bc^2 - ba^2 + ca^2 - cb^2$

次に、項の順序を整理して、同じ次数の項をまとめます。

$ab^2 - ac^2 + bc^2 - ba^2 + ca^2 - cb^2 = ab^2 - ba^2 + bc^2 - cb^2 + ca^2 - ac^2$

$a$、$b$、$c$について整理します。

$ab^2 - ba^2 + bc^2 - cb^2 + ca^2 - ac^2 = a(b^2 - c^2) + b(c^2 - a^2) + c(a^2 - b^2)$

この式を因数分解します。

$ab^2 - a^2b + bc^2 - b^2c + ca^2 - c^2a = - (a - b)(b - c)(c - a)$

$a(b^2-c^2) + b(c^2-a^2) + c(a^2-b^2) = ab^2 - ac^2 + bc^2 - a^2b + a^2c - b^2c$

$= ab^2 - a^2b - ac^2 + a^2c + bc^2 - b^2c$

$= ab(b - a) - c^2(a - b) + c(a^2 - b^2)$

$= ab(b - a) + c^2(b - a) + c(a - b)(a + b)$

$= (b - a)[ab + c^2 - c(a + b)]$

$= (b - a)[ab + c^2 - ca - cb]$

$= (b - a)[a(b - c) - c(b - c)]$

$= (b - a)(b - c)(a - c)$

$= - (a - b)(b - c)(c - a)$

3. 最終的な答え

$-(a-b)(b-c)(c-a)$