等比数列 $\{a_n\}$ において、第2項が3、第5項が24であるとき、一般項 $a_n$ を求めよ。ただし、公比は実数とする。

1. 問題の内容

等比数列 $\{a_n\}$ において、第2項が3、第5項が24であるとき、一般項 $a_n$ を求めよ。ただし、公比は実数とする。

2. 解き方の手順

等比数列の一般項は $a_n = a_1 r^{n-1}$ で表される。ここで、$a_1$ は初項、$r$ は公比である。

問題文より、以下の情報が与えられている。

* 第2項: $a_2 = a_1 r = 3$

* 第5項: $a_5 = a_1 r^4 = 24$

これらの情報を用いて、$a_1$ と $r$ を求める。

まず、$a_5$ を $a_2$ で割ると、

$\frac{a_5}{a_2} = \frac{a_1 r^4}{a_1 r} = \frac{24}{3}$

$r^3 = 8$

$r = 2$

$r$ は実数であるため、$r=2$ となる。

次に、$a_1 r = 3$ に $r=2$ を代入すると、

$a_1 \cdot 2 = 3$

$a_1 = \frac{3}{2}$

したがって、一般項は、

$a_n = a_1 r^{n-1} = \frac{3}{2} \cdot 2^{n-1} = 3 \cdot 2^{n-2}$

3. 最終的な答え

$a_n = 3 \cdot 2^{n-2}$