初項が50、公差が-3である等差数列 $\{a_n\}$ がある。 (1) 第何項が初めて負の数になるか。 (2) 初項から第何項までの和が最大であるか。また、その和を求めよ。

1. 問題の内容

初項が50、公差が-3である等差数列 $\{a_n\}$ がある。

(1) 第何項が初めて負の数になるか。

(2) 初項から第何項までの和が最大であるか。また、その和を求めよ。

2. 解き方の手順

(1) 一般項 $a_n$ を求め、 $a_n < 0$ となる最小の $n$ を求める。

等差数列の一般項は $a_n = a_1 + (n-1)d$ で与えられる。

ここで、$a_1 = 50$, $d = -3$ なので、

$a_n = 50 + (n-1)(-3) = 50 - 3n + 3 = 53 - 3n$

$a_n < 0$ となる $n$ を求める。

$53 - 3n < 0$

$3n > 53$

$n > \frac{53}{3} = 17.666...$

したがって、初めて負の数になるのは第18項である。

(2) 和が最大となる項を求める。

$a_n > 0$ である項までの和が最大となる。

$53 - 3n > 0$

$3n < 53$

$n < \frac{53}{3} = 17.666...$

したがって、$a_{17} > 0$ であり、$a_{18} < 0$ であるから、初項から第17項までの和が最大になる。

等差数列の和の公式は $S_n = \frac{n}{2}(a_1 + a_n)$ である。

$S_{17} = \frac{17}{2}(a_1 + a_{17})$

$a_{17} = 53 - 3 \times 17 = 53 - 51 = 2$

$S_{17} = \frac{17}{2}(50 + 2) = \frac{17}{2} \times 52 = 17 \times 26 = 442$

3. 最終的な答え

(1) 第18項

(2) 第17項までの和が最大で、その和は442