与えられた式 $ab(a+b) + bc(b+c) + ca(c+a) + 3abc$ を展開し、整理して簡単にしてください。

1. 問題の内容

与えられた式 $ab(a+b) + bc(b+c) + ca(c+a) + 3abc$ を展開し、整理して簡単にしてください。

2. 解き方の手順

まず、各項を展開します。

$ab(a+b) = a^2b + ab^2$

$bc(b+c) = b^2c + bc^2$

$ca(c+a) = c^2a + ca^2$

次に、これらを元の式に代入します。

$a^2b + ab^2 + b^2c + bc^2 + c^2a + ca^2 + 3abc$

ここで、因数分解の形に持っていくことを考えます。この式は $(a+b)(b+c)(c+a)$ を展開した形に似ていることに気づきます。$(a+b)(b+c)(c+a)$ を展開してみましょう。

$(a+b)(b+c) = ab + ac + b^2 + bc$

$(ab + ac + b^2 + bc)(c+a) = abc + a^2b + ac^2 + a^2c + b^2c + ab^2 + bc^2 + abc$

$= a^2b + ab^2 + b^2c + bc^2 + c^2a + ca^2 + 2abc$

したがって、

$a^2b + ab^2 + b^2c + bc^2 + c^2a + ca^2 + 3abc = a^2b + ab^2 + b^2c + bc^2 + c^2a + ca^2 + 2abc + abc$

$= (a+b)(b+c)(c+a) + abc$

3. 最終的な答え

$(a+b)(b+c)(c+a) + abc$