与えられた二つの式を因数分解する問題です。 (1) $(x+1)(x+2)(x+3)(x+4)-24$ (2) $a(b^2-c^2)+b(c^2-a^2)+c(a^2-b^2)$

1. 問題の内容

与えられた二つの式を因数分解する問題です。

(1) $(x+1)(x+2)(x+3)(x+4)-24$

(2) $a(b^2-c^2)+b(c^2-a^2)+c(a^2-b^2)$

2. 解き方の手順

(1) $(x+1)(x+2)(x+3)(x+4)-24$を因数分解します。

まず、$(x+1)(x+4)$と$(x+2)(x+3)$をそれぞれ展開します。

$(x+1)(x+4) = x^2 + 5x + 4$

$(x+2)(x+3) = x^2 + 5x + 6$

$x^2 + 5x = A$ と置換すると、

$(x+1)(x+2)(x+3)(x+4)-24 = (x^2+5x+4)(x^2+5x+6)-24 = (A+4)(A+6)-24 = A^2+10A+24-24 = A^2+10A = A(A+10)$

ここで、$A = x^2+5x$ を代入すると、

$A(A+10) = (x^2+5x)(x^2+5x+10) = x(x+5)(x^2+5x+10)$

(2) $a(b^2-c^2)+b(c^2-a^2)+c(a^2-b^2)$を因数分解します。

式を展開します。

$a(b^2-c^2)+b(c^2-a^2)+c(a^2-b^2) = ab^2 - ac^2 + bc^2 - ba^2 + ca^2 - cb^2$

$a$について整理すると、

$ab^2 - ac^2 + bc^2 - ba^2 + ca^2 - cb^2 = (b^2-c^2)a + (c^2-b^2)a^2 + bc^2 - cb^2 = (c^2-b^2)a^2 + (b^2-c^2)a + bc(c-b) = -(b-c)(b+c)a^2 + (b-c)(b+c)a - bc(b-c) = (b-c)[-(b+c)a^2 + (b+c)a -bc] = -(b-c)[(b+c)a^2 - (b+c)a + bc] = -(b-c)[a(b+c)a - bca]= -(b-c)(a-b)(a-c) = (a-b)(b-c)(c-a)$

3. 最終的な答え

(1) $x(x+5)(x^2+5x+10)$

(2) $(a-b)(b-c)(c-a)$