与えられた式を計算し、できる限り簡略化すること。与えられた式は次の通りです。 $\frac{x+1}{x} - \frac{x+2}{x+1} - \frac{x-4}{x-3} + \frac{x-5}{x-4}$

1. 問題の内容

与えられた式を計算し、できる限り簡略化すること。与えられた式は次の通りです。

$\frac{x+1}{x} - \frac{x+2}{x+1} - \frac{x-4}{x-3} + \frac{x-5}{x-4}$

2. 解き方の手順

まず、最初の2つの分数を計算します。

$\frac{x+1}{x} - \frac{x+2}{x+1} = \frac{(x+1)(x+1) - x(x+2)}{x(x+1)} = \frac{x^2+2x+1 - x^2-2x}{x(x+1)} = \frac{1}{x(x+1)}$

次に、後半の2つの分数を計算します。

$-\frac{x-4}{x-3} + \frac{x-5}{x-4} = \frac{-(x-4)(x-4) + (x-3)(x-5)}{(x-3)(x-4)} = \frac{-(x^2-8x+16) + (x^2 - 8x + 15)}{(x-3)(x-4)} = \frac{-x^2+8x-16 + x^2 - 8x + 15}{(x-3)(x-4)} = \frac{-1}{(x-3)(x-4)}$

したがって、元の式は次のようになります。

$\frac{1}{x(x+1)} - \frac{1}{(x-3)(x-4)}$

共通分母を見つけて、分数同士を結合します。

$\frac{1}{x(x+1)} - \frac{1}{(x-3)(x-4)} = \frac{(x-3)(x-4) - x(x+1)}{x(x+1)(x-3)(x-4)} = \frac{(x^2 - 7x + 12) - (x^2+x)}{x(x+1)(x-3)(x-4)} = \frac{x^2 - 7x + 12 - x^2 - x}{x(x+1)(x-3)(x-4)} = \frac{-8x+12}{x(x+1)(x-3)(x-4)}$

分子を簡単にして、式を簡略化できるかどうかを確認します。

$-8x+12 = -4(2x-3)$

分母は $x(x+1)(x-3)(x-4) = x(x+1)(x^2 - 7x + 12)$.

最終的な式は次のようになります。

$\frac{-8x+12}{x(x+1)(x-3)(x-4)}$

3. 最終的な答え

$\frac{-8x+12}{x(x+1)(x-3)(x-4)}$

または

$\frac{-4(2x-3)}{x(x+1)(x-3)(x-4)}$