公比が実数の等比数列 $\{a_n\}$ において、$a_4 = -24$ かつ $a_7 = -192$ であるとき、$a_n$ を求めよ。

1. 問題の内容

公比が実数の等比数列 $\{a_n\}$ において、$a_4 = -24$ かつ $a_7 = -192$ であるとき、$a_n$ を求めよ。

2. 解き方の手順

等比数列の一般項は $a_n = a_1 r^{n-1}$ と表される。ここで、$a_1$ は初項、$r$ は公比である。

与えられた条件より、

$a_4 = a_1 r^{4-1} = a_1 r^3 = -24$

$a_7 = a_1 r^{7-1} = a_1 r^6 = -192$

これらの式から、$a_1$ と $r$ を求める。

$a_1 r^6 = (a_1 r^3) r^3$ であるから、

$a_1 r^6 = -192$ を $a_1 r^3 = -24$ で割ると、

$\frac{a_1 r^6}{a_1 r^3} = \frac{-192}{-24}$

$r^3 = 8$

$r = \sqrt[3]{8} = 2$

公比 $r$ は実数であるから、$r = 2$ である。

$a_1 r^3 = -24$ に $r = 2$ を代入すると、

$a_1 (2^3) = -24$

$8 a_1 = -24$

$a_1 = \frac{-24}{8} = -3$

したがって、$a_1 = -3$ かつ $r = 2$ であるから、一般項は

$a_n = a_1 r^{n-1} = -3 \cdot 2^{n-1}$

3. 最終的な答え

$a_n = -3 \cdot 2^{n-1}$