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与えられた6つの行列式それぞれの値を計算する問題です。

代数学行列式余因子展開サラスの公式
2025/6/25

1. 問題の内容

与えられた6つの行列式それぞれの値を計算する問題です。

2. 解き方の手順

(1)
∣23−3−1−10757∣\begin{vmatrix} 2 & 3 & -3 \\ -1 & -1 & 0 \\ 7 & 5 & 7 \end{vmatrix}
サラスの公式を用いるか、余因子展開で計算します。2行目に関して余因子展開を行うと、
−(−1)∣3−357∣+(−1)∣2−377∣=(21+15)−(14+21)=36−35=1 -(-1)\begin{vmatrix} 3 & -3 \\ 5 & 7 \end{vmatrix} + (-1)\begin{vmatrix} 2 & -3 \\ 7 & 7 \end{vmatrix} = (21+15) - (14+21) = 36 - 35 = 1
(2)
∣1524−36−12−1∣\begin{vmatrix} 1 & 5 & 2 \\ 4 & -3 & 6 \\ -1 & 2 & -1 \end{vmatrix}
サラスの公式を用いるか、余因子展開で計算します。1行目に関して余因子展開を行うと、
1∣−362−1∣−5∣46−1−1∣+2∣4−3−12∣=(3−12)−5(−4+6)+2(8−3)=−9−10+10=−9 1\begin{vmatrix} -3 & 6 \\ 2 & -1 \end{vmatrix} - 5\begin{vmatrix} 4 & 6 \\ -1 & -1 \end{vmatrix} + 2\begin{vmatrix} 4 & -3 \\ -1 & 2 \end{vmatrix} = (3-12) - 5(-4+6) + 2(8-3) = -9 - 10 + 10 = -9
(3)
∣102030457100420053006∣\begin{vmatrix} 10 & 20 & 30 \\ 4 & 5 & 7 \\ 1004 & 2005 & 3006 \end{vmatrix}
1行目から10をくくり出すと、∣123457100420053006∣\begin{vmatrix} 1 & 2 & 3 \\ 4 & 5 & 7 \\ 1004 & 2005 & 3006 \end{vmatrix} となり、3列目は1列目と2列目の和であるから、C3=C1+C2C_3 = C_1 + C_2です。よって行列式の値は0。
10⋅0=010 \cdot 0 = 0
(4)
∣1200212002120021∣\begin{vmatrix} 1 & 2 & 0 & 0 \\ 2 & 1 & 2 & 0 \\ 0 & 2 & 1 & 2 \\ 0 & 0 & 2 & 1 \end{vmatrix}
1行目に関して余因子展開を行うと、
1∣120212021∣−2∣220012021∣=1(1(1−4)−2(2−0))−2(2(1−4))=1(−3−4)−2(−6)=−7+12=5 1\begin{vmatrix} 1 & 2 & 0 \\ 2 & 1 & 2 \\ 0 & 2 & 1 \end{vmatrix} - 2\begin{vmatrix} 2 & 2 & 0 \\ 0 & 1 & 2 \\ 0 & 2 & 1 \end{vmatrix} = 1(1(1-4)-2(2-0)) - 2(2(1-4)) = 1(-3-4) - 2(-6) = -7 + 12 = 5
(5)
∣230−30061−1−1007547∣\begin{vmatrix} 2 & 3 & 0 & -3 \\ 0 & 0 & 6 & 1 \\ -1 & -1 & 0 & 0 \\ 7 & 5 & 4 & 7 \end{vmatrix}
3列目に関して余因子展開を行うと、
−6∣23−3−1−10757∣+0−4∣23−3001−1−10∣ -6\begin{vmatrix} 2 & 3 & -3 \\ -1 & -1 & 0 \\ 7 & 5 & 7 \end{vmatrix} + 0 - 4\begin{vmatrix} 2 & 3 & -3 \\ 0 & 0 & 1 \\ -1 & -1 & 0 \end{vmatrix}
(1)の結果より、最初の行列式は1なので、 −6⋅1=−6-6 \cdot 1 = -6
2番目の行列式は、2行目に関して余因子展開を行うと、
−1∣23−1−1∣=−(−2+3)=−1-1 \begin{vmatrix} 2 & 3 \\ -1 & -1 \end{vmatrix} = -( -2+3) = -1
したがって、 −6−4(−1)=−6+4=−2-6 -4(-1) = -6 + 4 = -2
(6)
∣3512−12609100712003250000−6∣\begin{vmatrix} 3 & 5 & 1 & 2 & -1 \\ 2 & 6 & 0 & 9 & 1 \\ 0 & 0 & 7 & 1 & 2 \\ 0 & 0 & 3 & 2 & 5 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & -6 \end{vmatrix}
5行目に関して余因子展開を行うと、
−6∣3512260900710032∣=−6∣3526∣∣7132∣=−6(18−10)(14−3)=−6⋅8⋅11=−528 -6 \begin{vmatrix} 3 & 5 & 1 & 2 \\ 2 & 6 & 0 & 9 \\ 0 & 0 & 7 & 1 \\ 0 & 0 & 3 & 2 \end{vmatrix} = -6 \begin{vmatrix} 3 & 5 \\ 2 & 6 \end{vmatrix} \begin{vmatrix} 7 & 1 \\ 3 & 2 \end{vmatrix} = -6(18-10)(14-3) = -6 \cdot 8 \cdot 11 = -528

3. 最終的な答え

(1) 1
(2) -9
(3) 0
(4) 5
(5) -2
(6) -528

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