ある世論調査で、200人の有権者を無作為抽出し、A政党の支持者を調べたところ36人いました。A政党の支持者の母比率 $p$ に対して、信頼度95%の信頼区間を求めます。

1. 問題の内容

ある世論調査で、200人の有権者を無作為抽出し、A政党の支持者を調べたところ36人いました。A政党の支持者の母比率 $p$ に対して、信頼度95%の信頼区間を求めます。

2. 解き方の手順

標本比率 $\hat{p}$ を計算します。

$$\hat{p} = \frac{36}{200} = 0.18$$

95%信頼区間を求めるには、信頼係数 $z$ を用います。信頼度95%の場合、$z = 1.96$ となります。

母比率の信頼区間は以下の式で求められます。

$$\hat{p} \pm z \sqrt{\frac{\hat{p}(1-\hat{p})}{n}}$$

ここで、

$\hat{p}$ は標本比率

$z$ は信頼係数

$n$ はサンプルサイズ

です。

それぞれの値を代入します。

$$0.18 \pm 1.96 \sqrt{\frac{0.18(1-0.18)}{200}}$$

$$0.18 \pm 1.96 \sqrt{\frac{0.18(0.82)}{200}}$$

$$0.18 \pm 1.96 \sqrt{\frac{0.1476}{200}}$$

$$0.18 \pm 1.96 \sqrt{0.000738}$$

$$0.18 \pm 1.96 \times 0.027166$$

$$0.18 \pm 0.053245$$

信頼区間の下限は $0.18 - 0.053245 = 0.126755$

信頼区間の上限は $0.18 + 0.053245 = 0.233245$

3. 最終的な答え

信頼度95%の信頼区間は、約0.127から0.233です。つまり、$0.127 \leq p \leq 0.233$