問題232の(1)と(2)について、与えられた数列の第n項を求め、さらに初項から第n項までの和を求める問題です。

1. 問題の内容

問題232の(1)と(2)について、与えられた数列の第n項を求め、さらに初項から第n項までの和を求める問題です。

2. 解き方の手順

(1) の場合：

* 数列の一般項 $a_n$を求める。

数列は、1, 1+5, 1+5+9, 1+5+9+13, ... である。これは、初項1、公差4の等差数列の和で構成されている。

$a_n = 1 + 5 + 9 + ... + (4n-3)$

$a_n$ は初項1、末項4n-3、項数nの等差数列の和なので、

$a_n = \frac{n}{2} \{ 1 + (4n-3) \} = \frac{n}{2} (4n-2) = n(2n-1) = 2n^2 - n$

* 数列の和 $S_n$を求める。

$S_n = \sum_{k=1}^n a_k = \sum_{k=1}^n (2k^2 - k) = 2\sum_{k=1}^n k^2 - \sum_{k=1}^n k$

$\sum_{k=1}^n k^2 = \frac{n(n+1)(2n+1)}{6}$

$\sum_{k=1}^n k = \frac{n(n+1)}{2}$

$S_n = 2 \cdot \frac{n(n+1)(2n+1)}{6} - \frac{n(n+1)}{2} = \frac{n(n+1)(2n+1)}{3} - \frac{n(n+1)}{2}$

$S_n = \frac{2n(n+1)(2n+1) - 3n(n+1)}{6} = \frac{n(n+1) \{ 2(2n+1) - 3 \} }{6} = \frac{n(n+1)(4n+2-3)}{6} = \frac{n(n+1)(4n-1)}{6}$

(2) の場合：

* 数列の一般項 $a_n$を求める。

数列は、1, 1+3, 1+3+9, 1+3+9+27, ... である。これは、初項1、公比3の等比数列の和で構成されている。

$a_n = 1 + 3 + 9 + ... + 3^{n-1}$

$a_n$ は初項1、公比3、項数nの等比数列の和なので、

$a_n = \frac{1(3^n - 1)}{3-1} = \frac{3^n - 1}{2}$

* 数列の和 $S_n$を求める。

$S_n = \sum_{k=1}^n a_k = \sum_{k=1}^n \frac{3^k - 1}{2} = \frac{1}{2} \sum_{k=1}^n (3^k - 1) = \frac{1}{2} \left( \sum_{k=1}^n 3^k - \sum_{k=1}^n 1 \right)$

$\sum_{k=1}^n 3^k = \frac{3(3^n - 1)}{3-1} = \frac{3(3^n - 1)}{2}$

$\sum_{k=1}^n 1 = n$

$S_n = \frac{1}{2} \left( \frac{3(3^n - 1)}{2} - n \right) = \frac{3(3^n - 1) - 2n}{4} = \frac{3^{n+1} - 3 - 2n}{4}$

3. 最終的な答え

(1) 第n項: $2n^2 - n$, 初項から第n項までの和: $\frac{n(n+1)(4n-1)}{6}$

(2) 第n項: $\frac{3^n - 1}{2}$, 初項から第n項までの和: $\frac{3^{n+1} - 2n - 3}{4}$