確率変数 $X$ のとる値が $0 \le X \le 2$ であり、その確率密度関数 $f(x)$ が $f(x) = \frac{1}{2}x$ $(0 \le x \le 2)$ で与えられているとき、$X$ の期待値 $E(X)$ を求めます。

1. 問題の内容

確率変数 $X$ のとる値が $0 \le X \le 2$ であり、その確率密度関数 $f(x)$ が $f(x) = \frac{1}{2}x$ $(0 \le x \le 2)$ で与えられているとき、$X$ の期待値 $E(X)$ を求めます。

2. 解き方の手順

確率変数の期待値は、確率密度関数 $f(x)$ を用いて以下の式で計算できます。

$$E(X) = \int_{-\infty}^{\infty} x f(x) dx$$

問題では、確率変数 $X$ は $0 \le X \le 2$ の範囲の値を取り、確率密度関数は $f(x) = \frac{1}{2}x$ で与えられているため、期待値は以下の積分で計算できます。

$$E(X) = \int_{0}^{2} x \cdot \frac{1}{2}x dx = \frac{1}{2} \int_{0}^{2} x^2 dx$$

次に、積分を計算します。

$$\int_{0}^{2} x^2 dx = \left[ \frac{x^3}{3} \right]_{0}^{2} = \frac{2^3}{3} - \frac{0^3}{3} = \frac{8}{3}$$

したがって、

$$E(X) = \frac{1}{2} \cdot \frac{8}{3} = \frac{4}{3}$$

3. 最終的な答え

$X$ の期待値は $\frac{4}{3}$ です。